[论文解读] $\mathcal{L}$-invariants, partially de Rham families and local-global compatibility

Yiwen Ding|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文通过部分 de Rham 家族，将 Colmez-Greenberg-Stevens 公式推广至 $p$-进域上二维半稳定非晶体 Galois 表示的 Fontaine-Mazur $δ$-不变量，建立了完成上同调中 quaternion Shimura 曲线的局部-整体相容性，证明了临界情形下 Fontaine-Mazur 与 Breuil 的 $δ$-不变量相等，将先前结果从非临界情形推广至临界情形。

ABSTRACT

Let $F_{\wp}$ be a finite extension of $\mathbb{Q}_p$. By considering partially de Rham families, we establish a Colmez-Greenberg-Stevens formula (on Fontaine-Mazur $\mathcal{L}$-invariants) for (general) $2$-dimensional semi-stable non-crystalline $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}_p}/F_{\wp})$-representations. As an application, we prove local-global compatibility results for completed cohomology of quaternion Shimura curves, and in particular the equality of Fontaine-Mazur $\mathcal{L}$-invariants and Breuil's $\mathcal{L}$-invariants, in critical case.

研究动机与目标

• 将 Colmez-Greenberg-Stevens 公式推广至 $F_{\wp}$ 上二维半稳定非晶体 Galois 表示的 $δ$-不变量，包括临界情形。
• 建立 quaternion Shimura 曲线完成上同调与 $p$-进 Galois 表示之间的局部-整体相容性，尤其针对临界表示。
• 在临界情形下证明 Fontaine-Mazur $δ$-不变量与 Breuil 的 $δ$-不变量相等，解决 $p$-进 Langlands 程序中的一个关键猜想。
• 构造部分 de Rham 家族的三角化表示，并分析其在形变下的行为，尤其与 $δ$-不变量的关系。

提出的方法

• 利用部分 de Rham 家族来参数化在嵌入子集 $\Sigma_{\wp}$ 上具有受控 de Rham 行为的 Galois 表示。
• 应用 $B$-对上同调与三角化理论，为非临界嵌入定义 Fontaine-Mazur $δ$-不变量。
• 采用广义的 Colmez-Greenberg-Stevens 公式，涉及微分形式：$ d\log(\delta_1\delta_2^{-1}(p)) + \sum_{\sigma \in S_n} \mathcal{L}_\sigma d(\mathrm{wt}(\delta_1\delta_2^{-1})_\sigma) \in \Omega^1_{A/E} $，该形式在特殊点处为零。
• 利用特征簇与完成上同调，通过 Emerton 的构造 $\widehat{\Pi}(\rho)$ 将 $p$-进自守形式与 Galois 表示联系起来。
• 应用 Kedlaya 的斜率滤子与全局三角化理论，分析 $p$-进 Hilbert 模形式族及其临界行为。
• 构造特征簇的闭纯可分子空间 $\mathcal{E}(\underline{k}_J, w)$，作为具有固定权的典型点的 Zariski 闭包，猜想其具有 $J$-de Rham 性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 Colmez-Greenberg-Stevens 公式推广至二维半稳定非晶体 Galois 表示的临界情形？
• RQ2 Fontaine-Mazur $δ$-不变量在非临界嵌入下是否出现在 quaternion Shimura 曲线的完成上同调中？
• RQ3 在临界情形下，完成上同调与 Galois 表示之间是否存在局部-整体相容性？
• RQ4 在临界情形下，Breuil 的 $δ$-不变量是否等于 Fontaine-Mazur 的 $δ$-不变量？
• RQ5 能否利用部分 de Rham 家族在特征簇中构造并刻画 $J$-de Rham Galois 表示？

主要发现

• 广义的 Colmez-Greenberg-Stevens 公式在 $F_{\wp}$ 上的二维三角化表示中成立，即使在临界情形下，该微分形式在特殊点处为零。
• Fontaine-Mazur $δ$-不变量在非临界嵌入下被实现在完成上同调 $\widehat{\Pi}(\rho)$ 中，证实了非临界情形下的局部-整体相容性。
• 在临界情形下，Fontaine-Mazur $δ$-不变量与 Breuil 的 $δ$-不变量相等，支持了 $p$-进水平下的局部 Langlands 对应。
• 部分 de Rham 家族使得对子集 $J \subset \Sigma_{\wp}$ 上 de Rham 行为的控制成为可能，从而在特征簇中构造出 $J$-de Rham 家族。
• 具有固定权 $k_\sigma$（$\sigma \in J$）的典型点的 Zariski 闭包 $\mathcal{E}(\underline{k}_J, w)$ 被猜想参数化 $J$-de Rham Galois 表示。
• 临界情形被证明与特征簇的几何非平凡地相关联，$J$-de Rham 条件刻画了 $\mathcal{E}(\underline{k}_J, w)^\prime$ 中典型点闭包的结构。