[论文解读] $\mathcal{N}=2$ supersymmetric gauge theories on $S^2 imes S^2$ and Liouville Gravity

Aditya Bawane, Giulio Bonelli+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 33被引用 11

一句话总结

本文通过等变局部化方法，计算了在 $S^2 \times S^2$ 上 $σ=2$ 超对称 gauge 理论的划分函数，推导出具有 $U(1)$ 对称性的流形上的广义 Killing 旋量方程。关键结果是划分函数的构建块——三点多点函数与共形块——与 Liouville 重力理论中的完全一致，从而在超对称 gauge 理论与二维量子重力之间建立了直接联系。

ABSTRACT

We consider $\mathcal{N}=2$ supersymmetric gauge theories on four manifolds admitting an isometry. Generalized Killing spinor equations are derived from the consistency of supersymmetry algebrae and solved in the case of four manifolds admitting a $U(1)$ isometry. This is used to explicitly compute the supersymmetric path integral on $S^2 imes S^2$ via equivariant localization. The building blocks of the resulting partition function are shown to contain the three point functions and the conformal blocks of Liouville Gravity.

研究动机与目标

• 推导在具有 $U(1)$ 对称性的弯曲四维流形上 $σ=2$ 超对称 gauge 理论的广义 Killing 旋量方程。
• 通过等变局部化方法，精确计算该理论在 $S^2 \times S^2$ 上的路径积分。
• 在 gauge 理论划分函数中识别出 Liouville 重力结构的出现——特别是三点多点函数与共形块。
• 在超对称 gauge 理论与二维量子重力之间建立物理与数学上的桥梁。

提出的方法

• 从在具有对称性的弯曲流形上闭合的 $σ=2$ 超代数出发，推导广义 Killing 旋量方程。
• 在 $S^2 \times S^2$ 上使用等变版本的拓扑扭转方法求解这些方程，以保持一个超荷。
• 应用等变局部化，将路径积分约化为 $U(1)$ 作用的不动点上的有限维积分。
• 利用 Nekrasov 划分函数技术，计算经典作用量、一阶量子修正行列式与 instanton 贡献。
• 识别出 $U(2)$ 情况下，其构建块与 Liouville 重力的三点多点函数和共形块完全匹配。
• 使用 Barnes 双 zeta 与 gamma 函数，将划分函数表示为 $ε_1, \u03b5_2$-变形的特殊函数形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义 Killing 旋量方程如何约束具有 $U(1)$ 对称性的弯曲四维流形上的超对称性？
• RQ2 $S^2 \times S^2$ 上 $σ=2$ gauge 理论的划分函数的确切形式是什么？
• RQ3 划分函数的一阶修正与 instanton 修正部分如何与 Liouville 重力相关联？
• RQ4 在 $S^2 \times S^2$ 上的 $U(2)$ gauge 理论能否重现 Liouville 重力的三点多点函数与共形块？
• RQ5 这种超对称 gauge 理论中 Liouville 重力结构出现的物理根源是什么？

主要发现

• 在 $S^2 \times S^2$ 上，通过等变局部化精确计算了划分函数，其结果约化为 $U(1)$ 作用的不动点之和。
• $U(2)$ 情况下，gauge 理论的一阶修正行列式与 Liouville 重力的三点多点函数完全匹配。
• $U(2)$ 理论中的 instanton 贡献重现了 Liouville 重力的共形块。
• 完整划分函数被构造为 Nekrasov 划分函数的粘合，其结构常数与共形块与 Liouville 理论一致。
• 从 M5-brane 在 $S^2 \times S^2 \times \Sigma$ 上 compactification 得到的二维共形场论的中心荷，与从异常多项式导出的 Liouville 重力中心荷一致。
• 使用 Barnes 双 zeta 与 gamma 函数，可将划分函数解析延拓至所有复数 $\epsilon_1, \epsilon_2$ 值，同时保持与 Liouville 理论的对应关系。