[论文解读] Localization with a Surface Operator, Irregular Conformal Blocks and Open Topological String

Hidetoshi Awata, Hiroyuki Fuji+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 44被引用 31

一句话总结

该论文通过在模空间上使用局部化方法，建立了带有表面算符的 SU(2) $υ=2$ 规范理论的瞬子划分函数与包含退化初级场插入的共形场论 (CFT) 关联函数之间的精确匹配。该工作在半经典极限之外验证了 AGT 对应关系，并推导出描述超共形 $\mathcal{N}=2$ $SU(2)$ 理论在退耦合为渐近自由理论时的具有不规则奇点的微分方程，同时通过几何工程将结果与局部希茨布鲁赫曲面上的开拓扑弦振幅联系起来。

ABSTRACT

Following a recent paper by Alday and Tachikawa, we compute the instanton partition function in the presence of the surface operator by the localization formula on the moduli space. For SU(2) theories we find an exact agreement with CFT correlation functions with a degenerate operator insertion, which enables us to work out the decoupling limit of the superconformal theory with four flavors to asymptotically free theories at the level of differential equations for CFT correlation functions (irregular conformal blocks). We also argue that the K theory (or five dimensional) lift of these computations gives open topological string amplitudes on local Hirzebruch surface and its blow ups, which is regarded as a geometric engineering of the surface operator. By computing the amplitudes in both A and B models we collect convincing evidences of the agreement of the instanton partition function with surface operator and the partition function of open topological string.

研究动机与目标

• 通过在瞬子模空间上的局部化方法，计算带有表面算符的 SU(2) 规范理论的瞬子划分函数。
• 在半经典极限之外，建立规范理论划分函数与包含退化算符插入的 CFT 关联函数之间的精确对应关系。
• 推导并分析描述超共形 $\mathcal{N}=2$ $SU(2)$ 理论（四 flavors）退耦合极限至渐近自由理论的具有不规则奇点的微分方程。
• 通过几何工程将所得划分函数与局部希茨布鲁赫曲面及其展开上的开拓扑弦振幅联系起来。

提出的方法

• 在瞬子模空间上应用局部化公式，计算 SU(2) 规范理论中带有表面算符的瞬子划分函数。
• 使用 Feigin 等人提出的等变特征公式直接计算划分函数，适用于完整的表面算符类型。
• 推导关于 Gaiotto 态的退化场 $\Phi_{1,2}$ 的单点函数的微分方程，其编码了不规则奇点。
• 将这些微分方程作为尺度参数 $\Lambda$ 的幂级数求解，与瞬子展开相匹配。
• 通过将物质质量趋于无穷大并重新定义 $\Lambda$，执行 $\mathcal{N}=2$ $SU(2)$ 四味理论的退耦合极限，并分析其在 CFT 侧的对应极限。
• 利用拓扑顶点形式化方法与粘合规则，将规范理论的 K-理论（五维）提升与局部希茨布鲁赫曲面及其展开上的开拓扑弦振幅联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 SU(2) $\mathcal{N}=2$ 规范理论中，带有表面算符的瞬子划分函数是否与包含退化初级场插入的 CFT 关联函数精确匹配？
• RQ2 从超共形理论退耦合为渐近自由理论的极限中，如何产生具有不规则奇点的共形块微分方程？
• RQ3 AGT 对应关系是否可以超越半经典极限，通过局部化方法包含精确瞬子贡献？
• RQ4 表面算符的几何工程解释在局部希茨布鲁赫曲面上的开拓扑弦振幅中如何体现？
• RQ5 B 模型中的拓扑顶点与粘合规则是否能够重现带有表面算符的规范理论划分函数？

主要发现

• 在半经典极限之外，发现带有表面算符的瞬子划分函数与包含退化场插入的 CFT 关联函数之间存在精确匹配。
• 关于 Gaiotto 态的 $\Phi_{1,2}$ 单点函数的微分方程表现出不规则奇点，这些奇点源于共形块结构中正则奇点的退化。
• 成功地将 $\mathcal{N}=2$ $SU(2)$ 四味理论退耦合为渐近自由理论的极限映射到 CFT 侧微分方程的对应极限。
• Gaiotto 态作为两个维拉索罗初级态的退化而出现，为退耦合过程提供了 CFT 实现。
• 规范理论计算的 K-理论提升重现了局部希茨布鲁赫曲面及其展开上的开拓扑弦振幅，证实了几何工程的猜想。
• B 模型与 A 模型对振幅的计算结果一致，为带有表面算符的瞬子划分函数与开拓扑弦划分函数之间的对偶性提供了强有力证据。