[论文解读] $\mathcal{P}\mathcal{S}$ bent functions constructed from finite pre-quasifield spreads

Baofeng Wu|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新方法，通过有限几何中的有限预仿射域平面，显式构造 $π\mathcal{S}$ 弯曲函数的新子类。通过计算源自 Dempwolff-Müller、Knuth 和 Kantor 预仿射域的参数置换多项式的复合逆，作者构造了三个新的显式可表示子类——$π\mathcal{S}_{\text{D-M}}$、$π\mathcal{S}_{\text{Knu}}$ 和 $π\mathcal{S}_{\text{Kan}}$——这是自 30 多年前以来首次在 $π\mathcal{S}_{\text{ap}}$ 类之外实现 $π\mathcal{S}$ 弯曲函数的显式构造。

ABSTRACT

Bent functions are of great importance in both mathematics and information science. The $\mathcal{P}\mathcal{S}$ class of bent functions was introduced by Dillon in 1974, but functions belonging to this class that can be explicitly represented are only the $\mathcal{P}\mathcal{S}_{ ext{ap}}$ functions, which were also constructed by Dillon after his introduction of the $\mathcal{P}\mathcal{S}$ class. In this paper, a technique of using finite pre-quasifield spread from finite geometry to construct $\mathcal{P}\mathcal{S}$ bent functions is proposed. The constructed functions are in similar styles with the $\mathcal{P}\mathcal{S}_{ ext{ap}}$ functions. To explicitly represent them in bivariate forms, the main task is to compute compositional inverses of certain parametric permutation polynomials over finite fields of characteristic 2. Concentrated on the Dempwolff-Müller pre-quasifield, the Knuth pre-semifield and the Kantor pre-semifield, three new subclasses of the $\mathcal{P}\mathcal{S}$ class are obtained. They are the only sub-classes that can be explicitly constructed more than 30 years after the $\mathcal{P}\mathcal{S}_{ ext{ap}}$ subclass was introduced.

研究动机与目标

• 解决长期以来关于显式表示 $π\mathcal{S}$ 弯曲函数的开放问题，即超越 $π\mathcal{S}_{\text{ap}}$ 子类的表示。
• 开发一种通用技术，利用有限几何中的有限预仿射域平面构造 $π\mathcal{S}$ 弯曲函数。
• 计算特征为 2 的有限域上参数置换多项式的复合逆，以实现弯曲函数的显式双变量表示。
• 识别并表征具有显式多项式形式的新 $π\mathcal{S}$ 类子类。
• 在长达 30 年进展停滞之后，扩展已知的可显式构造的 $π\mathcal{S}$ 弯曲函数类。

提出的方法

• 利用有限预仿射域平面作为底层代数结构，生成用于弯曲函数构造的偏平面。
• 基于预仿射域的乘法运算定义参数置换多项式，作为构造的核心组件。
• 在 $ζ_{2^{m}}$ 上计算这些参数置换多项式的复合逆，以实现所得弯曲函数的显式双变量表示。
• 利用已知的预仿射域——Dempwolff-Müller、Knuth 预半域和 Kantor 预半域——其乘法运算允许复合逆的可计算性。
• 推导出在特征 2 下线性化多项式 $L_a(z) = az^2 + \text{tr}(az)$ 的复合逆的显式公式，取决于 $\text{tr}(a)$ 的值。
• 将逆多项式应用于通过 $π\mathcal{S}$ 构造原理定义弯曲函数，从而得到新的显式可表示子类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 $π\mathcal{S}_{\text{ap}}$ 类之外显式表示 $π\mathcal{S}$ 弯曲函数，该类在过去 30 多年中一直是唯一已知的显式子类？
• RQ2 能否系统性地利用有限预仿射域平面来构造具有显式双变量多项式形式的新 $π\mathcal{S}$ 弯曲函数子类？
• RQ3 源自特定预仿射域（如 Dempwolff-Müller、Knuth 和 Kantor）的参数置换多项式的复合逆是什么？
• RQ4 能否利用该方法构造出新的、此前未知的 $π\mathcal{S}$ 类子类，并在特征为 2 的有限域上显式描述？
• RQ5 所提出的技巧能否推广到其他预仿射域，或扩展到奇特征域？

主要发现

• 利用 Dempwolff-Müller、Knuth 预半域和 Kantor 预半域，分别显式构造了 $π\mathcal{S}$ 类的三个新子类——$π\mathcal{S}_{\text{D-M}}$、$π\mathcal{S}_{\text{Knu}}$ 和 $π\mathcal{S}_{\text{Kan}}$。
• 对参数置换多项式 $L_a(z) = az^2 + \text{tr}(az)$ 的复合逆在 $\text{tr}(a) = 0$ 和 $\text{tr}(a) = 1$ 两种情况下均显式计算，从而实现弯曲函数的双变量形式构造。
• 当 $\text{tr}(a) = 0$ 时，逆多项式 $L_a^{-1}(z)$ 被导出为 $\left(\frac{z}{a}\right)^{1/2} + \frac{\text{tr}(az)}{a^{1/2}}$；当 $\text{tr}(a) = 1$ 时，其表达式更为复杂，涉及幂次和迹项的求和，两者均在模 $x^{2^m} + x$ 下成立。
• 弯曲函数 $F(x,y) = x \diamond y$ 通过逆运算显式定义，其中 $\diamond$ 定义为 $L_x^{-1}(y)$，从而在 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上得到双变量表示。
• 该构造方法具有通用性，可扩展至其他预仿射域（如广义 Kantor 或 Albert 预仿射域）以生成更多新子类。
• 该研究解决了 $π\mathcal{S}$ 弯曲函数显式构造长达 30 年的停滞，显著扩展了该类中已知的显式可表示弯曲函数集合。