[论文解读] $\mathcal{S}$-categories, $\mathcal{S}$-groupoids, Segal categories and quasicategories

Timothy Porter|ArXiv.org|Jan 21, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文全面概述了 $γ$-范畴、$γ$-群oids、塞加尔范畴与拟范畴，将经典抽象同伦论与现代单纯方法统一起来。它建立了德里-肯尼恩局部化、同伦一致单纯骨架与坦萨马尼的弱 $n$-范畴之间的联系，通过单纯提升与一致性条件，为同伦理论中的高阶范畴结构提供了理解框架。

ABSTRACT

The notes were prepared for a series of talks that I gave in Hagen in late June and early July 2003, and, with some changes, in the University of La Laguña, the Canary Islands, in September, 2003. They aim (i) to revisit some oldish material on abstract homotopy and simplicial ly enriched categories, that seems to be being used in today's resurgence of interest in the area and to try to view it in a new light, or perhaps from new directions; (ii) to introduce Segal categories and various other tools used by the Nice-Toulouse group of abstract homotopy theorists and link them into some of the older ideas; (iii) to introduce Joyal's quasicategories, and show how that theory links in with some old ideas of Boardman and Vogt, Dwyer and Kan, and Cordier and Porter; and finally to ask lots of questions of myself and of the reader.

研究动机与目标

• 使用现代单纯与丰富范畴工具（特别是 $γ$-范畴与拟范畴）重新表述经典抽象同伦论。
• 统一并澄清关键同伦论结构之间的关系：德里-肯尼恩局部化、塞加尔范畴与乔yal的拟范畴。
• 研究同伦一致单纯骨架与高阶一致性数据（例如来自单纯群的数据）如何建模高维代数结构。
• 探讨坦萨马尼的弱 $n$-范畴作为高阶层与同伦类型基础的潜力，特别是在格罗滕迪克纲领的语境下。
• 识别在高阶范畴模型的一致性与比较方面存在的开放问题与概念空白，特别是与模型范畴及几何直觉的关系。

提出的方法

• 以单纯提升范畴（$γ$-范畴）作为基础框架，其中同态集为满足一致性公理的单纯集。
• 应用德里-肯尼恩 hammock 局部化构造具有弱等价的范畴的 $γ$-群oids，以捕捉其同伦类型。
• 引入同伦一致单纯骨架构造，将 $γ$-范畴与拟范畴关联，推广经典单纯骨架函子。
• 利用塞加尔范畴作为多单纯集上塞加尔条件的 $(∞,1)$-范畴模型。
• 采用坦萨马尼通过多单纯集及其庞加莱群oids类比构造弱 $n$-范畴的方法。
• 依赖 Dold-Kan 对应关系与单纯化解析，将链复形与交叉复形建模为 $γ$-范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 德里-肯尼恩 $γ$-群oids 与同伦一致单纯单体之间的确切关系是什么？它们如何编码高阶交换律？
• RQ2 坦萨马尼构造能否推广至非空间输入（例如单纯群或范畴）？由此产生的庞加莱弱 $n$-群oids 揭示了什么？
• RQ3 当 $\mathcal{B}$ 局部为 Kan 时，$β^{ℕ}$ 的德里-肯尼恩 hammock 局部化与映射空间 $\mathcal{S}(S(ℕ), Ner_{h.c.}(\mathcal{B}))$ 有多接近？
• RQ4 能否为一般塞加尔范畴定义同伦一致单纯骨架？塞加尔范畴与拟范畴之间的精确关系是什么？
• RQ5 是否可能使用塞加尔范畴工具构建一个几何上直观、非技术性的 2-层框架，从而避免过度依赖模型范畴或 $∞$-范畴工具？

主要发现

• 一个 $γ$-范畴的同伦一致单纯骨架产生一个拟范畴，为单纯提升范畴与乔yal的 $(∞,1)$-范畴之间架起桥梁。
• 具有弱等价的范畴的德里-肯尼恩 hammock 局部化产生一个 $γ$-群oids，其对同伦范畴与一致高阶态射进行建模。
• 在 $(∞,1)$-范畴的同伦范畴中，塞加尔范畴与拟范畴是等价的，确立了一项关键比较结果。
• 坦萨马尼的弱 $n$-范畴推广了双群oids的概念，可视为具有一致复合的高阶群oids的多单纯集模型。
• 坦萨马尼弱 $n$-范畴的对角线与阿廷-马祖尔共对角线可能与超交叉复形相关，暗示其与非交换同伦理论的联系。
• 本文识别出在高阶层理论中，技术工具（如模型范畴）与几何直觉之间存在概念性鸿沟，主张采用更简单、更直观的框架。