[论文解读] Matrix integrals and Hurwitz numbers

A. Yu. Orlov|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文通过证明矩阵变量的tau函数乘积的积分可生成任意欧拉特征数 $\textsc{e} \leq 2$ 和分支点数 $\textsc{f} \leq n+2$ 的Hurwitz数 $H^{\textsc{e},\textsc{f}}$，建立了多矩阵模型与Hurwitz数之间的联系，其中 $n > 2$ 为矩阵数量。关键结果表明，被积函数中矩阵乘法的顺序以及BKP或TL tau函数的存在与否，决定了基底曲面是否可定向（黎曼曲面）或不可定向（克莱因曲面），其生成函数为超几何型tau函数。

ABSTRACT

We study multi-matrix models which may be viewed as integrals of products of tau functions which depend on the eigenvalues of products of random matrices. In the present paper we consider tau functions of the hierarchy the two-component KP (semiinfinite relativistic Toda lattice) and of hierarchy of the BKP introduced by Kac and van de Leur. Sometimes such integrals are tau functions themselves. We consider models which generate Hurwitz numbers $H^{e},f$, where $e$ is the Euler characteristic of the base surface and $f$ is the number of branch points. We show that in case the integrands contains the product of $n > 2$ matrices the integral generates Hurwitz numbers with $e\le 2$ and $f\le n+2$, both numbers $e$ and $f$ depend both on $n$ and on the order of the multipliers in the matrix product. The Euler characteristic $ e $ can be either an even or an odd number, that is, match both orientable and nonorientable (Klein) base surfaces, depending on the presence of the tau function of the BKP hierarchy in the integrand. We study two cases: the products of complex and the products of unitary matrices.

研究动机与目标

• 将矩阵模型积分从 $n=1,2$ 个矩阵推广至 $n > 2$ 个矩阵，以生成任意基底曲面拓扑的Hurwitz数。
• 识别此类积分在何种条件下可生成非可定向（克莱因）曲面的Hurwitz数，而不仅限于可定向（黎曼）曲面。
• 证明被积函数中矩阵乘法的顺序会影响基底曲面的欧拉特征数 $\textsc{e}$，使其减少偶数个单位。
• 证明被积函数中包含BKP tau函数时对应非可定向基底曲面，而TL/BKP组合则产生混合情况。
• 利用矩阵变量的tau函数，统一描述不同矩阵系综（厄米特、酉、复）下Hurwitz数的生成函数。

提出的方法

• 将矩阵积分定义为对 $n > 2$ 个矩阵的元素进行积分，被积函数为依赖于 $\mathrm{tr}(Z^m)$ 的tau函数乘积，其中 $Z$ 为矩阵的乘积。
• 利用矩阵积分的特征标展开，将配分函数表示为对称群不可约表示的和，以分拆 $\lambda$ 索引。
• 将所得级数与两分量KP和BKP族的超几何型tau函数相关联，具体取决于矩阵系综（厄米特、酉、复）。
• 应用文献[26]和[69]的结果，将生成函数解释为单调Hurwitz数的射影类比，其计数的是在Cayley图上带权终点的路径。
• 通过在 $\mathbb{U}(N)$ 和复矩阵上进行混合积分，消除 $ (N)_\lambda $ 因子，从而获得纯净的射影Hurwitz数生成函数。
• 将参数 $\mathbf{p}^{(i)}$ 特征化为 $\mathbf{p}(\texttt{q}_i, \texttt{t}_i)$，以恢复弱单调或严格单调Hurwitz数的已知生成函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $n > 2$ 个矩阵的多矩阵模型，是否可生成欧拉特征数 $\textsc{e} \leq 2$ 的基底曲面的Hurwitz数？
• RQ2 矩阵乘积中矩阵的排列顺序如何影响所生成Hurwitz数的拓扑不变量（欧拉特征数 $\textsc{e}$、分支点数 $\textsc{f}$）？
• RQ3 BKP tau函数在生成函数中起何种作用，以区分可定向（黎曼）曲面与不可定向（克莱因）曲面？
• RQ4 矩阵变量的tau函数乘积的积分是否可产生射影Hurwitz数的生成函数，包括非连通或弱单调类型？
• RQ5 在何种条件下，此类矩阵积分本身并非tau函数，但仍继承tau函数的关键性质？

主要发现

• 对于 $n > 2$ 个矩阵，积分生成的Hurwitz数具有欧拉特征数 $\textsc{e} \leq 2$ 和分支点数 $\textsc{f} \leq n+2$，二者均依赖于 $n$ 和矩阵的排列顺序。
• 改变矩阵乘法的顺序会使 $\textsc{e}$ 减少偶数个单位，表明从黎曼曲面到克莱因曲面的拓扑跃迁。
• 被积函数中存在BKP tau函数对应非可定向基底曲面（克莱因曲面），而TL/BKP组合则产生混合情况。
• 对酉矩阵的积分 $\int \tau^\text{B}_1(U_2) e^{\mathrm{tr}(V(U_1,\mathbf{p}))+\mathrm{tr}(cU_1^\dagger U_2^\dagger)} d_*U_1 d_*U_2$ 生成一个超几何型的BKP tau函数。
• 当 $n=1, m=1$ 时，生成函数 $\sum_{\lambda} c^{|λ|} \frac{s_{\lambda}(\mathbf{p})}{(N)_\lambda}$ 是弱单调Hurwitz数生成函数的射影类比。
• 通过结合对 $\mathbb{U}(N)$ 和复矩阵的积分，消除了因子 $ (N)_\lambda $，从而得到纯净的射影Hurwitz数生成函数 $H^{1,n}$。