[论文解读] Matrix-Product Constructions for Hermitian Self-Orthogonal Codes

Somphong Jitman, Todsapol Mankean|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文提出了一类新的矩阵积构造方法，用于在有限域 $ℝ_{q}$（$q = r^2$）上构造厄米特自正交码。通过放宽对输入码为厄米特自正交码以及基矩阵为酉矩阵的要求，作者引入了弱拟酉矩阵与弱反拟酉矩阵的概念，建立了通用准则，从而能够构造出优良的厄米特自正交码，包括由广义里德-索罗蒙码生成的自偶码示例。

ABSTRACT

Self-orthogonal codes have been of interest due to there rich algebraic structures and wide applications. Euclidean self-orthogonal codes have been quite well studied in literature. Here, we have focused on Hermitian self-orthogonal codes. Constructions of such codes have been given based on the well-known matrix-product construction for linear codes. Criterion for the underlying matrix and the input codes required in such constructions have been determined. In many cases, the Hermitian self-orthogonality of the input codes and the assumption that the underlying matrix is unitary can be relaxed. Some special matrices used in the constructions and illustrative examples of good Hermitian self-orthogonal codes have been provided as well.

研究动机与目标

• 将自正交码的矩阵积构造方法推广至厄米特情形，同时放宽对输入码与基矩阵的约束。
• 确定基矩阵与输入码需满足的充要条件，以确保所得矩阵积码为厄米特自正交码。
• 利用特殊矩阵与已知码族（如广义里德-索罗蒙码）构造出优良厄米特自正交码的显式示例。
• 研究 $ℝ_{q}$ 上矩阵 $A$ 的结构特性，使得 $AA^\dagger$ 为对角或反对角矩阵，引入弱拟酉矩阵与弱反拟酉矩阵的概念。
• 展示通过厄米特自正交码在对称量子码构造中的应用。

提出的方法

• 将矩阵积构造应用于 $ℝ_q$ 上的线性码 $C_1, \dots, C_s$，利用矩阵 $A \in M_{s,l}(\u211d_q)$ 构造乘积码 $C = [C_1, \dots, C_s] \cdot A$。
• 建立 $C$ 为厄米特自正交码的判别准则：$AA^\dagger$ 必须为对角或反对角矩阵，且输入码需满足特定对偶条件。
• 引入弱拟酉矩阵（$AA^\dagger = \lambda D$，$D$ 为对角矩阵）与弱反拟酉矩阵（$AA^\dagger = \lambda A_d$，$A_d$ 为反对角矩阵）的概念，以推广酉矩阵。
• 将该构造应用于广义里德-索罗蒙（GRS）码，其中 $C_1 = \mathrm{GRS}_{n,k}(w,\gamma)$ 且 $C_2 = (\mathrm{GRS}_{n,k+i}(w,\gamma))^\perp_H$，从而推导出具有显式参数的码。
• 所得码的最小距离 $d$ 满足下界 $\min\{2(n-k+1), k+i+1\}$，在某些情况下优于已有下界。
• 通过 $q = 9, 16, 25, 49$ 构造示例，得到长度为 $2n$、维度为 $n-i$、最小距离 $d \geq 10$ 至 $d \geq 50$ 的码。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在矩阵积构造中放宽对输入码为厄米特自正交码以及基矩阵为酉矩阵的要求？
• RQ2 矩阵 $A$ 在 $ℝ_q$（$q = r^2$）上需满足何种结构特性，才能确保矩阵积码为厄米特自正交码？
• RQ3 能否使用非自正交输入码与非酉矩阵构造出优良的厄米特自正交码？
• RQ4 由 GRS 码及其厄米特对偶构造的矩阵积码的最小距离边界为何？
• RQ5 弱拟酉矩阵与弱反拟酉矩阵如何用于生成新的厄米特自正交码族？

主要发现

• 本文建立了矩阵积码为厄米特自正交码的一般准则，其核心在于矩阵 $A$ 满足 $AA^\dagger$ 为对角或反对角矩阵。
• 对输入码为厄米特自正交码以及基矩阵为酉矩阵的要求可被放宽，从而提升了构造的灵活性。
• 当 $q = 9$ 时，构造出一个 $[18,5,d]_{9}$ 码，满足 $d \geq 10$；当 $q = 49$ 时，得到一个 $[98,25,d]_{49}$ 码，满足 $d \geq 50$。
• 当 $i = 0$ 时，该构造可生成参数为 $[2n,n,d]_q$ 的厄米特自偶码，且 $d \geq \min\{2(n-k+1), k+1\}$。
• 利用 GRS 码及其厄米特对偶，本文构造出在 $q = 49$ 时最小距离达 $d \geq 18$ 至 $d \geq 50$ 的码，展现出优异的最小距离性能。
• 本研究识别并表征了弱拟酉矩阵与弱反拟酉矩阵作为实现宽松构造的关键组件。