[论文解读] Matrix Product States for Lattice Field Theories

Mari Carmen Bañuls, Krzysztof Cichy+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2013

Quantum many-body systems参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文展示了矩阵乘积态（MPS）在格点规范场论中的应用，具体针对施温格模型，采用开放边界条件和有限尺寸标度法。该方法实现了对轴向对称性破缺参数的高精度、非微扰计算，通过连续极限外推得到的结果与精确值高度一致，验证了MPS在强关联规范场论中的可行性。

ABSTRACT

The term Tensor Network States (TNS) refers to a number of families of states that represent different ansätze for the efficient description of the state of a quantum many-body system. Matrix Product States (MPS) are one particular case of TNS, and have become the most precise tool for the numerical study of one dimensional quantum many-body systems, as the basis of the Density Matrix Renormalization Group method. Lattice Gauge Theories (LGT), in their Hamiltonian version, offer a challenging scenario for these techniques. While the dimensions and sizes of the systems amenable to TNS studies are still far from those achievable by 4-dimensional LGT tools, Tensor Networks can be readily used for problems which more standard techniques, such as Markov chain Monte Carlo simulations, cannot easily tackle. Examples of such problems are the presence of a chemical potential or out-of-equilibrium dynamics. We have explored the performance of Matrix Product States in the case of the Schwinger model, as a widely used testbench for lattice techniques. Using finite-size, open boundary MPS, we are able to determine the low energy states of the model in a fully non-perturbative manner and to accurately extract the mass spectrum. In this work we extend the analysis to the determination of the chiral condensate, both for massless and massive fermions. The method allows for accurate finite size and continuum limit extrapolations and produces remarkably precise results, thus showing the feasibility of these techniques for gauge theory problems.

研究动机与目标

• 将矩阵乘积态（MPS）的应用从基态能量和能隙扩展到格点规范场论中轴向对称性破缺参数的计算。
• 通过减去自由场贡献来解决轴向对称性破缺参数中的发散问题，从而实现精确的连续极限外推。
• 证明MPS方法在强关联量子场论中能够实现足够高的精度，以完成有限尺寸和连续极限外推。
• 在无质量情况下与精确结果进行对比，在有质量情况下与现有文献进行比较，以验证方法的有效性。
• 确立张量网络技术在标准蒙特卡罗方法（如马尔可夫链蒙特卡罗）失效的场景（如有限密度或非平衡动力学）中的可行性。

提出的方法

• 通过科古-苏斯金德形式化和约旦-维格纳变换，将施温格尔模型映射为长程自旋哈密顿量，从而实现基于自旋的MPS处理。
• 轴向对称性破缺参数作为算符 $\hat{\Sigma} = \frac{\sqrt{x}}{N}\sum_{n}(-1)^{n}\frac{1+\sigma_{n}^{z}}{2}$ 的基态期望值进行计算，并通过线性 $1/N$ 外推消除有限尺寸效应。
• 利用精确的自由场结果 $\Sigma_{\text{free}}$ 减去对角参数中的发散对数项，得到有限且物理的可观测量。
• 采用函数形式 $f(x) = A + F\frac{\log x}{\sqrt{x}} + B\frac{1}{\sqrt{x}} + C\frac{1}{x}$ 进行连续极限外推，其中 $x = 1/(g^2 a^2)$，以消除格点效应。
• 系统性地增加键维数 $D$，并通过在 $1/D$ 上的线性拟合外推至 $D \to \infty$，以控制截断误差。
• 该方法结合了有限尺寸标度、连续极限外推以及通过线性拟合获得的置信区间进行误差估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 矩阵乘积态能否在施温格尔模型中准确计算轴向对称性破缺参数，该模型是格点规范场论的基准测试？
• RQ2 减去自由场对角参数后，对连续极限外推的收敛性和准确性有何影响？
• RQ3 MPS方法在轴向对称性破缺参数计算中，其精度在多大程度上可与或超过现有非微扰技术？
• RQ4 哪种函数形式最能描述减去对角参数后向连续极限的趋近行为，且与数值数据的拟合效果如何？
• RQ5 MPS方法能否可靠地处理对截断误差敏感的可观测量（如轴向对称性破缺参数），而不仅限于能量和能隙的计算？

主要发现

• 在无质量情况下，MPS方法得到的连续极限外推轴向对称性破缺参数为 $0.159930(8)$，与精确值 $0.159929$ 高度一致。
• 对于 $m/g = 0.125$，计算值 $0.092023(4)$ 与文献中近似值 $0.0929$ 一致。
• 减去对角参数后的对角参数在键维数 $D$ 上表现出极佳的收敛性，从 $D = 100$ 到 $D = 140$ 的 $1/D$ 线性外推结果稳定。
• 有限尺寸效应可通过线性 $1/N$ 拟合良好描述，热力学极限误差通过拟合参数的 $68\%$ 置信区间估计。
• 采用 $f(x) = A + F\frac{\log x}{\sqrt{x}} + B\frac{1}{\sqrt{x}} + C\frac{1}{x}$ 的连续极限外推形式对数据提供了极佳拟合，证实减去对角参数后不再存在 $\log a$ 发散。
• 该方法实现了对轴向对称性破缺参数的精确、非微扰计算，证明了MPS在强关联格点规范场论问题中的可行性，其应用已超越能量和能谱计算。