[论文解读] Matrix Theory over the Complex Quaternion Algebra

Yongge Tian|ArXiv.org|Apr 1, 2000

Algebraic and Geometric AnalysisMathematics参考文献 7被引用 22

一句话总结

本文建立了一个通用相似性分解恒等式，通过一个固定的可逆矩阵 Q，将复四元数矩阵与其 2×2 复矩阵表示联系起来，从而为在复四元数代数上定义广义逆矩阵、特征值、行列式及其他矩阵理论概念提供了一致的框架。其核心贡献是通过一个通用相似变换，在复四元数代数与矩阵代数之间建立了一个典范同构，从而实现了将经典矩阵理论推广至非交换四元数。

ABSTRACT

We present in this paper some fundamental tools for developing matrix analysis over the complex quaternion algebra. As applications, we consider generalized inverses, eigenvalues and eigenvectors, similarity, determinants of complex quaternion matrices, and so on.

研究动机与目标

• 开发一套系统化的复四元数代数矩阵理论，该代数是非交换的且缺乏标准矩阵工具。
• 解决在复四元数矩阵上定义矩阵运算（如逆矩阵、特征值和行列式）时由于非交换性带来的基础性挑战。
• 建立一个通用相似性分解，将复四元数与 2×2 复矩阵表示联系起来，从而实现经典矩阵理论结果的转移。
• 通过其忠实的矩阵表示，为复四元数矩阵定义一个中心行列式，确保其与乘法性和单位元性质的一致性。
• 通过新的行列式定义，将经典结果（如 Cayley-Hamilton 定理）扩展至复四元数设置。

提出的方法

• 引入一个通用相似性分解：$ Q^{-1} \text{diag}(a, a) Q = \psi(a) $，其中 $ Q $ 是 $ \mathbb{Q} $ 上的一个固定 2×2 矩阵，与 $ a $ 无关，且 $ \psi(a) $ 是 $ a \in \mathbb{Q} $ 的标准 2×2 复矩阵表示。
• 将该分解扩展至 $ \mathbb{Q} $ 上的 $ m \times n $ 矩阵，采用分块对角矩阵与分块矩阵构造方法。
• 将复四元数矩阵 $ A \in \mathbb{Q}^{n \times n} $ 的中心行列式定义为 $ |A|_c = |\Psi(A)| $，即其复矩阵表示的普通行列式。
• 应用通用相似性分解，推导复四元数设置下广义逆矩阵、特征值与特征向量的性质。
• 利用 $ \mathbb{Q} $ 与 $ \mathbb{C}^{2 \times 2} $ 之间的同构关系，将标准矩阵恒等式（如 Cayley-Hamilton 定理）提升至四元数代数。
• 应用该分解，定义并分析复四元数框架下的相似性、共轭转置及范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在非交换的复四元数代数上一致地定义矩阵运算（如逆矩阵与特征值）？
• RQ2 能否构造一个通用相似性分解，将复四元数矩阵与其 2×2 复矩阵表示关联起来，且不依赖于矩阵元素？
• RQ3 复四元数矩阵的行列式应如何定义，才能保持乘法性与单位元性质？
• RQ4 如何通过一个明确定义的行列式，将 Cayley-Hamilton 定理扩展至复四元数矩阵？
• RQ5 在复四元数矩阵背景下，广义逆矩阵、相似性与范数的结构性质是什么？

主要发现

• 存在一个通用相似性分解：$ Q^{-1} \text{diag}(a, a) Q = \psi(a) $，其中 $ Q $ 与 $ a $ 无关，从而在 $ \mathbb{Q} $ 与 $ \mathbb{C}^{2 \times 2} $ 之间建立了典范同构。
• 提出中心行列式 $ |A|_c = |\Psi(A)| $ 作为 $ A \in \mathbb{Q}^{n \times n} $ 的自然行列式，满足 $ |AB|_c = |A|_c |B|_c $，且 $ |A|_c \neq 0 $ 当且仅当 $ A $ 可逆。
• Cayley-Hamilton 定理在复四元数矩阵上成立：$ p_A(A) = 0 $，其中 $ p_A(\lambda) = |\lambda I_{2n} - \Psi(A)| $，这是一个次数为 $ 2n $ 的复多项式。
• 对于对角矩阵 $ A = \text{diag}(a_{11}, \dots, a_{nn}) $，中心行列式满足 $ |A|_c = n(a_{11}) \cdots n(a_{nn}) $，其中 $ n(a) = a_0^2 + a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 $。
• 中心行列式满足 $ |\lambda A|_c = \lambda^{2n} |A|_c $（$ \lambda \in \mathbb{C} $），且 $ |\mu A|_c = n^2(\mu) |A|_c $（$ \mu \in \mathbb{Q} $），其中 $ n(\mu) $ 为弱范数。
• 中心行列式在相似变换下保持不变：若 $ A \sim B $，则 $ |A|_c = |B|_c $，确保在等价表示间的一致性。