[论文解读] Matrosov's theorem using a family of auxiliary functions: an analysis tool to aid time-varying nonlinear control design

Andrew R. Teel, Antonio Lorı́a+2 more|ArXiv.org|Apr 18, 2003

Control and Dynamics of Mobile Robots参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文通过引入一族辅助函数，将Matrosov定理推广至时变非线性系统，以建立原点的统一全局渐近稳定性（UGAS）。通过确保这些函数的导数在Lyapunov函数导数为零的集合上同时为负定，该方法为分析非自治系统中的稳定性提供了一套系统化工具，并在无漂移和链式形式非完整系统中得到验证。

ABSTRACT

We present a new result on uniform attractivity of the origin for nonlinear time-varying systems. Our theorem generalizes Matrosov's theorem which extends, in a certain manner, Krasovskii-LaSalle invariance principle to the case of general nonlinear time-varying systems. We show the utility of our theorem by addressing a control problem of port interconnected driftless systems. The latter includes as special case, the control of chained-form nonholonomic systems which has been extensively studied in the literature.

研究动机与目标

• 解决标准不变性原理（如Krasovskii-LaSalle）不适用时，时变非线性系统中统一全局渐近稳定性（UGAS）的证明挑战。
• 通过引入有限个辅助函数而非单一函数，推广Matrosov定理，增强稳定性分析的灵活性。
• 为Lyapunov函数导数在非平凡集合上为零的系统，提供一种系统化框架，通过辅助函数导数的同步负定性来验证UGAS。
• 在非完整控制系统的典型类别中展示所提方法的实用性，特别是链式形式系统，这些系统以稳定性分析困难著称。
• 为时变控制系统建立一种严格的分析工具，避免依赖Barbălat引理，转而采用结构化的辅助函数方法。

提出的方法

• 提出一种新稳定性定理，使用有限族辅助函数 $ V_1, \dots, V_j $，每个函数连续可微且在紧集上有界。
• 定义复合函数 $ W(t,x) = \sum_{i=1}^{j-1} K_i V_i(t,x) + V_j(t,x) $，其中 $ K_i > 0 $ 为正的常数，选择以确保导数的负性。
• 建立条件，使得总时间导数 $ \dot{W} \leq Z(x, \phi(t,x)) $，其中 $ Z $ 在原点邻域内一致负定。
• 利用紧致性论证和连续性，确保当Lyapunov导数为零时，辅助函数导数仍远离零。
• 基于在时间区间 $ T $ 上对 $ \dot{W} $ 的积分，采用反证法，表明状态必须进入并保留在原点的任意期望邻域内。
• 利用原点的统一稳定性及 $ W $ 的负导数下界，通过时间区间论证得出UGAS。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过多个辅助函数将Matrosov定理推广至时变非线性系统？
• RQ2 在Lyapunov函数导数于非平凡集合上为零时，一族辅助函数在何种条件下可确保统一全局渐近稳定性？
• RQ3 该扩展框架能否应用于非完整系统，特别是链式形式系统，以在不依赖Barbălat引理的前提下建立UGAS？
• RQ4 辅助函数需具备何种结构特性，以确保其导数在Lyapunov导数为零的集合上同时为负定？
• RQ5 在缺乏通用选择准则的情况下，实践中如何指导辅助函数的选择？

主要发现

• 所提定理通过有限族辅助函数，建立了时变非线性系统原点的统一全局渐近稳定性（UGAS）。
• 该方法确保当Lyapunov导数为零时，复合函数 $ W $ 的导数被一个一致负定函数 $ Z $ 上界控制，且在紧集上一致成立。
• 对任意 $ \delta > 0 $，存在 $ \varepsilon > 0 $ 及正的常数 $ K_i $，使得在 $ \mathcal{H}(\delta, \Delta) \times \mathcal{B}(\mu) $ 上有 $ Z(x, \phi(t,x)) \leq -\varepsilon / 2^{j-1} $，从而保证Lyapunov型函数的指数衰减。
• 证明采用时间区间论证：若状态在时间 $ T > 2^j \eta / \varepsilon $ 内保持在原点邻域之外，则 $ W $ 的减少量将超过其初始上界，导致矛盾。
• 该框架成功应用于端口互连的无漂移系统，包括链式形式非完整系统，以建立UGAS。
• 该方法避免依赖Barbălat引理，转而通过辅助函数设计与积分界，提供一条直接且构造性的UGAS路径。