[论文解读] Maurer-Cartan moduli and theorems of Riemann-Hilbert type

Joseph Chuang, Julian J. Holstein+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 37被引用 8

一句话总结

本文為微分graded代数和范畴中的Maurer-Cartan模空间建立了新框架，表明它们是强同伦型的不变量，而不仅仅是拟同构的不变量。本文在分析与代数设定下证明了类似Schlessinger-Stasheff的定理，比较了MC元素的规范等价与同伦等价，并利用此结果重新证明并推广了流形、单纯复形与拓扑空间上的高阶Riemann-Hilbert对应关系，通过twisted模的dg范畴实现。

ABSTRACT

We study Maurer-Cartan moduli spaces of dg algebras and associated dg categories and show that, while not quasi-isomorphism invariants, they are invariants of strong homotopy type, a natural notion that has not been studied before. We prove, in several different contexts, Schlessinger-Stasheff type theorems comparing the notions of homotopy and gauge equivalence for Maurer-Cartan elements as well as their categorified versions. As an application, we re-prove and generalize Block-Smith's higher Riemann-Hilbert correspondence, and develop its analogue for simplicial complexes and topological spaces.

研究动机与目标

• 通过分析dg代数及其模，以更简单的方式理解高阶Riemann-Hilbert对应关系。
• 表明Maurer-Cartan模空间是强同伦型的不变量，这是一种比拟同构更精细的新概念。
• 建立类似Schlessinger-Stasheff的定理，比较dg代数中MC元素的同伦等价与规范等价。
• 将Block-Smith的高阶Riemann-Hilbert对应关系推广至单纯复形与拓扑空间。
• 通过$K_{\bullet}^*$-代数发展dg代数的同伦理论，并定义$K_{\bullet}$-同伦范畴。

提出的方法

• 为dg代数$A$引入twisted $A$-模的范畴$\operatorname{Tw}(A)$，其为比导出范畴$D(A)$更精细的不变量。
• 定义dg代数的强同伦等价，其尊重乘法结构，且严格细于拟同构。
• 使用dg代数$K_{\bullet}^*$，特别是$K_{\bullet}^*$（$\bullet = \infty, 0$）来建模同伦，并定义$K_{\bullet}$-同伦类的映射。
• 证明$K_{\infty}^*$由特定关系与微分的元素$e,f,s,t$生成，且其为正合的。
• 通过取$K_{\bullet}$-同伦类的态射作为态射，构造dg代数的$K_{\bullet}$-同伦范畴。
• 将该理论应用于$\Omega(M)$上的dg模的层化，证明在适当条件下，其对应的层是上同调局部常数的。

实验结果

研究问题

• RQ1 Maurer-Cartan模空间是否为强同伦型的不变量，而非仅仅是拟同构的不变量？
• RQ2 在何种条件下，同伦等价的MC元素是规范等价的，反之亦然？
• RQ3 高阶Riemann-Hilbert对应关系能否超越流形，推广至单纯复形与拓扑空间？
• RQ4 $K_{\infty}^*$与$K_0^*$代数如何在dg代数中建模乘法同伦？
• RQ5 $\operatorname{Tw}(A)$范畴是否为比导出范畴$D(A)$更精细的不变量，其同伦理论如何？

主要发现

• 范畴$\operatorname{Tw}(A)$不是$A$的拟同构不变量，但其在强同伦等价下保持不变。
• Maurer-Cartan模空间是强同伦型的不变量，为dg代数提供了一种新颖且非平凡的同伦概念。
• 在分析与代数设定下，类似Schlessinger-Stasheff的定理成立，且在适当条件下，MC元素的同伦等价与规范等价相等。
• 通过twisted模的dg范畴，高阶Riemann-Hilbert对应关系被重新证明并推广至单纯复形与拓扑空间。
• dg代数$K_{\infty}^*$被显式描述，其由生成元$e,f,s,t$与关系构成，且为正合的，使其成为建模同伦的理想工具。
• $K_{\bullet}$-同伦范畴的dg代数是良好定义的，且$K_{\infty}$-同伦等价严格细于$K_0$-等价。