[论文解读] Max-plus algebra models of queueing networks

Nikolai Krivulin|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2012

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 9被引用 11

一句话总结

该论文提出了一种最大-加代数框架，用于建模具有任意拓扑结构、单服务器分流-汇合节点以及无限和有限缓冲区的排队网络的动力学。它建立了存在显式动态状态方程的条件，该方程由服务时间和网络拓扑导出，从而通过最大-加代数中的矩阵运算实现对离开时刻的紧凑线性表示。

ABSTRACT

A class of queueing networks which may have an arbitrary topology, and consist of single-server fork-join nodes with both infinite and finite buffers is examined to derive a representation of the network dynamics in terms of max-plus algebra. For the networks, we present a common dynamic state equation which relates the departure epochs of customers from the network nodes in an explicit vector form determined by a state transition matrix. It is shown how the matrices inherent in particular networks may be calculated from the service times of customers. Since, in general, an explicit dynamic equation may not exist for a network, related existence conditions are established in terms of the network topology.

研究动机与目标

• 开发一个统一的最大-加代数框架，用于建模具有任意拓扑结构的排队网络，包括开放网络和闭合网络。
• 使用最大-加代数表示具有单服务器节点和混合缓冲容量（无限和有限）的分流-汇合排队网络的动力学。
• 在可能的情况下推导出此类网络的显式动态状态方程，并根据网络拓扑建立其存在条件。
• 将模型扩展以包含由于有限缓冲区引起的阻塞效应，同时保持动态方程的结构形式。

提出的方法

• 使用最大-加代数对网络进行建模，其中时间事件（例如，离开时刻）作为代数结构中的元素，操作符为 ⊕（取最大）和 ⊗（加法）。
• 定义离开时刻的状态向量，并从服务时间和网络结构中推导出状态转移矩阵 T(k)。
• 通过网络部分图 G₀ 的图论分析，确定隐式动态方程是否可以显式求解。
• 将动态方程表述为 d(k) = T(k) ⊗ d(k−1)，其中 T(k) 由服务时间和路由矩阵计算得出。
• 引入扩展状态向量和分块矩阵形式，以表示延迟依赖关系，从而在最大-加代数中保持标准线性形式。
• 基于与路由矩阵 G₀ 相关图的无环性，建立显式方程的存在条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种拓扑条件下，可以使用最大-加代数为具有有限和无限缓冲区的分流-汇合排队网络推导出显式动态状态方程？
• RQ2 如何使用最大-加代数以紧凑的线性形式表示具有任意拓扑结构的网络中离开时刻的动力学？
• RQ3 为在保持动态方程结构的同时考虑有限缓冲区阻塞，需对状态转移矩阵进行何种修改？
• RQ4 服务时间和路由模式如何影响最大-加代数框架中状态转移矩阵的构建？
• RQ5 能否将此类网络推导出的隐式动态方程转化为显式形式？若能，其条件是什么？

主要发现

• 当与路由矩阵相关的图 G₀ 为无环图时，显式动态状态方程 d(k) = T(k) ⊗ d(k−1) 存在且仅当此时成立。
• 即使存在有限缓冲区，状态转移矩阵 T(k) 仍可从服务时间和路由参数中显式计算得出。
• 只要 G₀ 保持无环性，有限缓冲区不会影响显式方程的存在条件。
• 当 G₀ 中存在环路时，隐式方程无法显式求解，但可通过修改初始条件或调整路由参数恢复显式形式。
• 该模型支持开放网络和闭合网络，并通过涉及 Hm 项的修改矩阵表达式，容纳由于有限缓冲区引起的阻塞效应。
• 该框架能够实现复杂排队网络的紧凑、可分析且计算高效的建模，借助最大-加代数。