[论文解读] Maximal entropy measures for Viana maps

Alexander Arbieto, Carlos Matheus+1 more|ArXiv.org|Dec 8, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文通过利用非一致膨胀性、临界集的缓慢回归性以及Oliveira（2003）的改进策略，建立了具有临界点的一类非一致膨胀的一维映射——Viana映射的极大熵测度的存在性。关键结果为：每个Viana映射对于几乎常数势函数均存在平衡态，包括一个唯一的极大熵测度，其所有李雅普诺夫指数均远离零。

ABSTRACT

In this note we construct measures of maximal entropy for a certain class of maps with critical points called Viana maps. The main ingredients of the proof are the non-uniform expansion features and the slow recurrence (to the critical set) of generic points with respect to the natural candidates for attaining the topological entropy.

研究动机与目标

• 建立Viana映射——一类具有临界点的非一致膨胀映射——的平衡态存在性。
• 克服临界点阻碍一致双曲性以及非一致膨胀和回归条件依赖勒贝格测度所带来的挑战。
• 通过构造候选测度集K并证明其具有生成划分的膨胀性，将Oliveira的策略适配于几乎常数势函数。
• 证明所得的平衡态是双曲的，且所有李雅普诺夫指数均被正的常数下界控制。
• 将结果推广至小的随机扰动，并讨论其在唯一性和统计性质方面的含义。

提出的方法

• 将Viana映射定义为一个扩张圆周映射与一个小扰动的二次族的斜积，以确保非一致膨胀性和临界集结构。
• 引入一个不变测度集K，作为实现变分原理的自然候选，基于非一致膨胀性和临界集的缓慢回归性。
• 证明任何不在K中的测度不可能是平衡态，而K中的任意测度均为膨胀测度（即具有正李雅普诺夫指数和双曲时间）。
• 利用双曲时间的存在性和临界集的缓慢回归性，证明膨胀测度具有生成划分。
• 应用熵的下半连续性及标准变分原理，得出几乎常数势函数下平衡态的存在性。
• 通过Alves和Araújo的结果，将框架推广至随机扰动情形，并将集合K适配于随机设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管存在临界点，Viana映射是否对几乎常数势函数存在平衡态？
• RQ2 当系统缺乏一致双曲性且非一致膨胀条件依赖勒贝格测度时，能否适配标准平衡态构造策略？
• RQ3 Viana映射的极大熵测度是否唯一？其李雅普诺夫指数是否为正？
• RQ4 能否将结果推广至Viana映射的小随机扰动？
• RQ5 所获得的平衡态的遍历性质（如混合衰减）如何？

主要发现

• 根据论文中公式(3)定义的条件，Viana映射对任意几乎常数势函数均存在平衡态。
• 特别是，每个Viana映射均存在唯一的极大熵测度，对应于常数势φ = 0。
• Viana映射的所有平衡态的李雅普诺夫指数均被某个λ₀ > 0下界控制，从而确认了双曲性。
• 此类测度的存在性通过Oliveira策略的改进版本建立，依赖于双曲时间和临界集的缓慢回归性。
• 结果可推广至C∞小扰动的Viana映射（d ≥ 2），而不仅限于最初假设的d ≥ 16。
• 该框架适用于Viana映射的小随机扰动，在随机设定下也存在类似平衡态的存在性结果。