[论文解读] Maximal Syntactic Complexity of Regular Languages Implies Maximal Quotient Complexities of Atoms

Janusz Brzozowski, Gareth Davies|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2013

semigroups and automata theory参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文证明，具有最大语法复杂度（n^n）的正则语言必然拥有 2^n 个原子，且每个原子均达到其理论上的最大商复杂度。证明基于最小DFA中状态转移的结构，表明完全语法复杂度意味着原子自动机中具有最大可达性与连通性，从而确保所有原子均达到其理论复杂度上限。

ABSTRACT

We relate two measures of complexity of regular languages. The first is syntactic complexity, that is, the cardinality of the syntactic semigroup of the language. That semigroup is isomorphic to the semigroup of transformations of states induced by non-empty words in the minimal deterministic finite automaton accepting the language. If the language has n left quotients (its minimal automaton has n states), then its syntactic complexity is at most n^n and this bound is tight. The second measure consists of the quotient (state) complexities of the atoms of the language, where atoms are non-empty intersections of complemented and uncomplemented quotients. A regular language has at most 2^n atoms and this bound is tight. The maximal quotient complexity of any atom with r complemented quotients is 2^n-1, if r=0 or r=n, and 1+\sum_{k=1}^{r} \sum_{h=k+1}^{k+n-r} \binom{h}{n} \binom{k}{h}, otherwise. We prove that if a language has maximal syntactic complexity, then it has 2^n atoms and each atom has maximal quotient complexity, but the converse is false.

研究动机与目标

• 研究正则语言中语法复杂度与原子商复杂度之间的关系。
• 确定最大语法复杂度是否意味着正则语言中所有原子的复杂度均达到最大。
• 澄清逆命题是否成立：即最大原子复杂度是否意味着最大语法复杂度。
• 在完全语法复杂度条件下，对原子自动机构造进行结构表征。
• 确立原子商复杂度达到理论上限的条件。

提出的方法

• 通过其最小DFA中非空字词诱导的变换半群，分析正则语言的语法幺半群。
• 利用最大语法复杂度（n^n）意味着在状态集上存在所有置换和奇异变换的事实。
• 应用自动机理论技术，证明原子自动机中同类区间的强连通性与可达性。
• 采用变换分解：δ_a = α ∘ δ_w，其中 α 为奇异变换，δ_w 为置换，以模拟原子状态间的转移。
• 证明：从任意类型为 (v,u) 的区间出发，可到达类型为 (v−1,u) 或 (v,u+1) 的区间，从而确保最大可达性。
• 利用先前研究中已知的原子商复杂度上界，证明完全可达性意味着复杂度达到最大。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有最大语法复杂度的正则语言是否必然拥有 2^n 个原子？
• RQ2 若一语言具有最大语法复杂度，其所有原子是否均达到最大可能的商复杂度？
• RQ3 逆命题是否成立：即所有原子均达到最大商复杂度是否意味着最大语法复杂度？
• RQ4 原子自动机构造的何种结构性质可确保最大商复杂度？
• RQ5 原子自动机的可达性与连通性特性如何与原始语言的语法复杂度相关联？

主要发现

• 语法复杂度为 n^n 的正则语言恰好拥有 2^n 个原子，达到理论上限。
• 此类语言的每个原子均达到最大可能的商复杂度：全集与空集原子的复杂度为 2^n − 1，而包含 r 个补 quotients 的原子复杂度为 f(n,r)。
• 原子的商复杂度达到最大值，当且仅当每个原子的最小DFA均为强连通，并支持所有可达的区间类型。
• 证明表明，完全语法复杂度确保在原子的最小DFA中，同一类型的所有区间均可通过字词诱导的变换相互可达。
• 从任意类型为 (v,u) 的区间可到达类型为 (v−1,u) 和 (v,u+1) 的区间，证实可达状态数与商复杂度的已知上界一致。
• 逆命题不成立：一个语言可能所有原子均处于最大商复杂度，但其语法复杂度并非最大，表明原子复杂度是语法复杂度的严格弱量度。