[论文解读] Maximally coherent states

Zhaofang Bai, Shuanping Du|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2015

Quantum Information and Cryptography参考文献 4被引用 6

一句话总结

该论文研究了相对熵相干性度量下的最大相干态（MCS），证明了混合MCS不存在，且所有纯MCS均通过对角酉矩阵与均匀叠加态 $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{k=1}^{d}|k\rangle$ 单位酉等价。研究发现，当子系统维度相等时，双体MCS的相干性超可加性取等号当且仅当该态为可分态；并识别出保持MCS的不相干操作为对角酉矩阵的置换的酉共轭。

ABSTRACT

Relative entropy measure quantifying coherence, a key property of quantum system, is proposed recently. In this note, we investigate the maximally coherent state (MCS) with respect to relative entropy measure. %(denoted by $\mathcal C_{RE}$)%. We show that there are not mixed maximally coherent states and give a complete characterization of pure maximally coherent states. Based on this characterization, for a bipartite MCS with $d_A=d_B$, we obtain that the super-additivity equality of relative entropy measure holds if and only if the state is a product state of its reduced states. From the viewpoint of resource in quantum information, we find there exists a MCS with maximal entanglement. Originated from the behaviour of quantum correlation under the influence of noisy operations, we further classify the incoherent operations which send maximally coherent states to themselves.

研究动机与目标

• 研究在相对熵相干性度量下最大相干态（MCS）的结构形式。
• 解决一个开放问题：双体态的相对熵相干性超可加性是否当且仅当该态为其约化态的可分态时取等号。
• 从量子资源理论视角，识别出保持最大相干态的不相干操作。
• 探索单个量子态中最大相干性与最大纠缠共存的可能性。

提出的方法

• 以相对熵相干性作为主要度量，其定义为 $\mathcal{C}_{RE}(\rho) = S(\Delta(\rho)) - S(\rho)$，其中 $\Delta(\rho)$ 为 $\rho$ 在不相干基下的对角部分。
• 应用相干性度量的公理化条件，推导出实现最大相干性的态的结构约束。
• 利用酉共轭和对角酉变换，将纯MCS分类为 $U|\psi\rangle\langle\psi|U^\dagger$ 的形式，其中 $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{k=1}^{d}|k\rangle$。
• 通过分解密度矩阵并评估约化态中的相干性，分析双体系统以检验超可加性。
• 利用矩阵分析和置换不变性，表征保持MCS的不相干操作，表明其必须为对角酉矩阵置换的酉共轭。
• 构造了维度不等的子系统反例，以证明在超可加性等式中维度相等是必要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在相对熵相干性度量下，是否存在混合最大相干态？
• RQ2 对于双体态，其相对熵相干性的超可加性是否当且仅当该态为其约化态的可分态时取等号？
• RQ3 一个量子态能否同时为最大相干态和最大纠缠态？
• RQ4 哪些不相干操作能保持最大相干态集合？
• RQ5 所有纯最大相干态是否都可通过对角酉矩阵与均匀叠加态单位酉等价？

主要发现

• 在相对熵相干性度量下，混合最大相干态不存在。
• 所有纯最大相干态的形式均为 $U|\psi\rangle\langle\psi|U^\dagger$，其中 $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{k=1}^{d}|k\rangle$，且 $U$ 为对角酉矩阵。
• 对于维度满足 $d_A = d_B$ 的双体最大相干态，超可加性等式 $\mathcal{C}_{RE}(\rho_{AB}) = \mathcal{C}_{RE}(\rho_A) + \mathcal{C}_{RE}(\rho_B)$ 成立当且仅当 $\rho_{AB} = \rho_A \otimes \rho_B$。
• 若 $d_A \neq d_B$，则超可加性等式不蕴含 $\rho_{AB}$ 为可分态，反例已构造。
• 存在一个量子态同时为最大相干态和最大纠缠态，证明了最大相干性与最大纠缠可共存。
• 一个不相干操作保持最大相干态当且仅当其形式为 $\Phi(\rho) = U\rho U^\dagger$，其中 $U$ 为对角酉矩阵的置换。