[论文解读] Maximum Matching in Semi-Streaming with Few Passes

Christian Konrad, Frédéric Magniez+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2011

Optimization and Search Problems参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文提出了针对图中最大匹配问题的新型半流算法，在少数遍历次数内实现了严格优于 1/2 的近似比。针对随机边顺序下的二分图，提出了一种随机化的一遍算法，近似比达到 1/2 + 0.005；针对二分图和一般图，分别设计了确定性的两遍算法，近似比分别为 1/2 + 0.019 和 1/2 + 0.0071，通过边过滤和借助辅助森林与匹配结构检测增广路径实现。

ABSTRACT

In the semi-streaming model, an algorithm receives a stream of edges of a graph in arbitrary order and uses a memory of size $O(n \mbox{ polylog } n)$, where $n$ is the number of vertices of a graph. In this work, we present semi-streaming algorithms that perform one or two passes over the input stream for maximum matching with no restrictions on the input graph, and for the important special case of bipartite graphs that we refer to as maximum bipartite matching (MBM). The Greedy matching algorithm performs one pass over the input and outputs a $1/2$ approximation. Whether there is a better one-pass algorithm has been an open question since the appearance of the first paper on streaming algorithms for matching problems in 2005 [Feigenbaum et al., SODA 2005]. We make the following progress on this problem: In the one-pass setting, we show that there is a deterministic semi-streaming algorithm for MBM with expected approximation factor $1/2+0.005$, assuming that edges arrive one by one in (uniform) random order. We extend this algorithm to general graphs, and we obtain a $1/2+0.003$ approximation. In the two-pass setting, we do not require the random arrival order assumption (the edge stream is in arbitrary order). We present a simple randomized two-pass semi-streaming algorithm for MBM with expected approximation factor $1/2 + 0.019$. Furthermore, we discuss a more involved deterministic two-pass semi-streaming algorithm for MBM with approximation factor $1/2 + 0.019$ and a generalization of this algorithm to general graphs with approximation factor $1/2 + 0.0071$.

研究动机与目标

• 解决半流算法是否能在单遍内实现优于 1/2 的最大匹配近似比这一开放问题。
• 在半流模型下，针对少数遍次设计最大二分匹配与一般最大匹配的高效算法。
• 在随机边到达顺序下，突破贪心算法在单遍设置中 1/2 近似比的瓶颈。
• 设计无需随机顺序假设的确定性两遍算法，以获得更优的近似比。
• 将方法推广至任意图与任意边顺序，在两遍模型中保持有效性。

提出的方法

• 以贪心匹配为基础，随后通过过滤阶段识别可用于三边增广路径的边。
• 从初始匹配外的边构建森林 F，其最大度数为 b，用于分析潜在的增广操作。
• 在两遍设置中，维护一个匹配 M' 和第一遍中收集的边集 MR，用于检测三边增广路径。
• 利用度数约束与顶点覆盖的组合界，下界估计可增广边的数量。
• 采用两阶段策略：第一遍计算基础匹配与辅助结构；第二遍识别并添加增广路径。
• 运用概率与极值论证，界定不可增广边的数量，从而推导出近似保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机边顺序下，能否设计出单遍半流算法，使最大二分匹配的近似比严格大于 1/2？
• RQ2 能否设计出无需随机顺序假设的确定性两遍半流算法，使最大二分匹配的近似比优于 1/2？
• RQ3 在两遍半流模型下，一般图的最大匹配问题能达到的最佳近似比是多少？
• RQ4 辅助森林中的度数约束与顶点覆盖如何影响匹配过程中可增广边的数量？
• RQ5 能否将三边增广路径的分析推广，以在两遍设置中推导出更优的近似因子？

主要发现

• 针对最大二分匹配问题，提出一种随机化单遍算法，在均匀随机边顺序下，其期望近似比达到 1/2 + 0.005。
• 针对一般最大匹配问题，提出一种单遍算法，在相同随机顺序假设下，其期望近似比达到 1/2 + 0.003。
• 针对最大二分匹配问题，提出一种确定性两遍算法，其近似比为 1/2 + 0.019，无需依赖随机边顺序。
• 针对一般最大匹配问题，提出一种确定性两遍算法，其近似比为 1/2 + 0.0071，且不依赖边到达顺序的假设。
• 分析表明，从一个精心选择的子集 M'a 中，至少有 1/3 的边可通过三边增广路径实现增广，从而提升近似性能。
• 参数的最优选择使得在两遍确定性设置下，一般图的最大匹配近似因子达到 1/2 + 1/140 ≈ 1/2 + 0.007142。