[论文解读] Maximum number of colourings. II. 5-chromatic graphs

Fiachra Knox, Bojan Mohar|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文证明了1971年Tomescu猜想在5-色图中的强化版本，表明最大数量的$k$-染色数唯一地由$K_5$通过在每个顶点上附加树构成的图实现。证明方法包括结构分解、通过移位多项式$Q_G(y)$进行色多项式分析，以及对临界图进行广泛的计算机辅助案例分析，确认了当$y \geq 4$时，不等式$Q_G(y) \leq (y+1)y^{n-4}(y-1)(y-2)(y-3)$成立。该结果扩展了对4-色图的先前工作，并为一般性证明奠定了基础。

ABSTRACT

In 1971, Tomescu conjectured [Le nombre des graphes connexes $k$-chromatiques minimaux aux sommets étiquetés, C. R. Acad. Sci. Paris 273 (1971), 1124--1126] that every connected graph $G$ on $n$ vertices with $χ(G) = k \geq 4$ has at most $k!(k-1)^{n-k}$ $k$-colourings, where equality holds if and only if the graph is formed from $K_k$ by repeatedly adding leaves. In this note we prove (a strengthening of) the conjecture of Tomescu when $k=5$.

研究动机与目标

• 解决1971年Tomescu关于5-色连通图中$k$-染色数最大值的猜想。
• 将先前用于4-色图工作的分析方法扩展至5-色图情形，利用结构分解与色多项式界进行分析。
• 确立达到上界值的极值图恰好为通过在$K_5$的每个顶点上附加树所构成的图，并且对所有实数$y$均成立等式。

提出的方法

• 使用移位色多项式$Q_G(y) = P_G(y+1)$分析$k$-染色数，以$y = x-1$为变量，简化渐近比较。
• 应用引理2.1中的递归不等式，基于顶点邻域与独立集划分来界定$Q_G(y)$。
• 对5-临界图进行案例分析，利用已知的小型临界图列表（最多13个顶点）及程序如auty_ge g和Royle的列表进行计算机验证。
• 采用结构分解：若图$G$包含一个4个顶点的独立集$S$，则$G-S$为4-色图，且根据定理1.2可被界定，从而实现对$Q_G(y)$的归纳界定。
• 通过依次移除$S$中的顶点，利用基于$B(y)$的不等式框架，在每一步更新色多项式界。
• 通过计算机验证所有候选图（例如13个顶点的Ramsey$(4,4)$图），确认$Q_G(y) \ll (y+1)y^{n-4}(y-1)(y-2)(y-3)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个顶点数为$n$的连通5-色图$G$是否对所有整数$y \geq 4$满足$Q_G(y) \leq (y+1)y^{n-4}(y-1)(y-2)(y-3)$？
• RQ2 在该界中达到等式的图是否仅限于通过在$K_5$的每个顶点上附加树所构成的图？
• RQ3 先前用于4-色图的方法是否可扩展至5-色图情形，通过结构分解与计算机辅助验证来证明该猜想？

主要发现

• 任意顶点数为$n$的连通5-色图$G$，其最大$k$-染色数上界为$k!(k-1)^{n-k} = 5! \cdot 4^{n-5}$，且当且仅当$G$是由$K_5$在每个顶点上附加树构成时等号成立。
• 对所有整数$y \geq 4$，不等式$Q_G(y) \leq (y+1)y^{n-4}(y-1)(y-2)(y-3)$成立，且对所有实数$y$等号成立当且仅当图是$K_5$附加树的图。
• 通过广泛计算机验证，确认所有顶点数不超过13个的5-临界图均满足严格不等式$Q_G(y) \ll (y+1)y^{n-4}(y-1)(y-2)(y-3)$，仅在极值的$K_5$附加树情形取等。
• 证明依赖于通过4个顶点的独立集对图进行分解，并利用引理2.1进行递归界定，其中基于$B(y)$的误差项通过案例分析得以控制。
• 该方法成功将4-色图情形的证明推广至$k=5$，作者预期该方法可进一步推广至$k=6$及更高，为一般性证明奠定基础。