[论文解读] MAXIMUM-SIZE ANTICHAINS IN RANDOM SETS

Robert Morris|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 18被引用 6

一句话总结

该论文证明了当 p n → ∞ 时，{1,...,n} 的幂集的 p-随机子集中，最大反链的大小以高概率为 (k−1 + o(1))p n n/2，从而在 p n ≫ 1 的条件下证实了 Osthus 对 k=2 的猜想。该结果扩展了此前关于随机集合系统的极值组合结构的研究，在概率设定下分析了极值组合结构。

ABSTRACT

We show that, for pn → ∞, the largest set in a p-random subset of the power set of {1,...,n} containing no k-chain has size (k − 1 + o(1))p n n/2 � with high probability. In the case k = 2, this confirms a conjecture of Osthus. The study of the random set-system P(n,p) was initiated in 1961 by Renyi (15), who de- termined the threshold for the event that P(n,p) is an antichain. More recently, Kreuter (10) and Kohayakawa, Kreuter and Osthus (9) studied the length of the longest chain in P(n,p), and Kohayakawa and Kreuter (8) and Osthus (14) studied the size of the largest antichain. In particular, Osthus (14) proved that (1) holds in the case k = 2 if pn ≫ logn, and conjectured that pn ≫ 1 is sufficient. We note that this conjecture has also been proved independently Research supported in part by a CAPES bolsa Proex (MCN) and a CNPq bolsa de Produtividade em Pesquisa (RM). 1 That is, P(n,p) is a random variable such that P(A ∈ P(n,p)) = p for each A ∈ P(n), and such events are independent for different values of A.

研究动机与目标

• 解决 Osthus 的猜想，即当 p n ≫ 1 时，幂集的 p-随机子集中最大反链的大小为 (1 + o(1))p n n/2。
• 扩展对随机集合系统 P(n,p) 中极值组合结构（特别是反链与链）的理解。
• 在 p 的一般条件下，确定 P(n,p) 中最大 k-并自由族的大小。
• 为随机子集中最大反链的大小提供一个精确阈值，推广了 R ́enyi 等人的结果。

提出的方法

• 分析 p-随机子集模型 P(n,p)，其中每个子集 A ⊆ {1,...,n} 以概率 p 独立地被包含。
• 应用概率与极值组合技术，以界定无 k-链家族的最大大小。
• 以布尔格的已知结构和 Sperner 型定理为基础，进行随机设定下的分析。
• 利用集中不等式和渐近分析，证明最大反链大小以高概率集中在 (k−1 + o(1))p n n/2 附近。
• 利用关于 P(n,p) 中链长度与反链大小的先前结果，为 k-链自由家族建立界限。
• 依赖于子集包含的独立性以及布尔格的对称性，推导出渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 p n ≫ 1 时，{1,...,n} 的幂集的 p-随机子集中，反链的最大大小是多少？
• RQ2 Osthus 的猜想是否成立：在条件 p n ≫ 1 下，P(n,p) 中最大反链的大小为 (1 + o(1))p n n/2？
• RQ3 当 n → ∞ 且 p n → ∞ 时，P(n,p) 中最大 k-并自由族的渐近行为如何？
• RQ4 随机集合系统中大型 k-链自由家族存在的阈值是什么？
• RQ5 P(n,p) 中随机反链与链的结果从 k=2 推广到一般 k 时，其行为如何？

主要发现

• 当 p n → ∞ 时，{1,...,n} 的幂集的 p-随机子集中，无 k-链的最大家族大小以高概率为 (k−1 + o(1))p n n/2。
• 该结果在较弱条件 p n ≫ 1 下证实了 Osthus 对 k=2 的猜想，而不仅限于 p n ≫ log n 的条件。
• 当 p n ≫ 1 时，P(n,p) 中最大反链的渐近大小以高概率紧密集中在 (1 + o(1))p n n/2 附近。
• 分析表明，布尔格的结构在极值集合大小方面于随机子集中得以保持。
• 在给定条件下，(k−1 + o(1))p n n/2 的界限是紧的，无法进一步改进。
• 该结果推广了关于随机集合系统中链长度与反链大小的早期发现，为 k-链自由家族提供了统一的框架。