[论文解读] Maximum Weight Online Matching with Deadlines

Itai Ashlagi, Maximilien Burq+4 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2018

Optimization and Search Problems参考文献 27被引用 10

一句话总结

本文提出了一种带有截止期限的最大权重在线匹配模型，其中参与者随时间陆续到达，并必须在 d 个时间周期内完成匹配。该文提出了一种随机化延迟贪心算法，在对抗性到达顺序下实现了 1/4-竞争比；在随机到达顺序下，其分批算法的竞争力为 0.279，且该研究还扩展至随机离开和前瞻情形。

ABSTRACT

We study the problem of matching agents who arrive at a marketplace over time and leave after d time periods. Agents can only be matched while they are present in the marketplace. Each pair of agents can yield a different match value, and the planner's goal is to maximize the total value over a finite time horizon. First we study the case in which vertices arrive in an adversarial order. We provide a randomized 0.25-competitive algorithm building on a result by Feldman et al. (2009) and Lehman et al. (2006). We extend the model to the case in which departure times are drawn independently from a distribution with non-decreasing hazard rate, for which we establish a 1/8-competitive algorithm. When the arrival order is chosen uniformly at random, we show that a batching algorithm, which computes a maximum-weighted matching every (d+1) periods, is 0.279-competitive.

研究动机与目标

• 对动态拼车与匹配市场进行建模，其中参与者于有限时间窗口内到达并离开。
• 解决未来到达与权重未知时，最大化总匹配价值的挑战。
• 设计在线算法，在到达与离开时间不确定的情况下，实现常数竞争比。
• 在对抗性、随机与随机化到达顺序下分析性能，并扩展至前瞻与无记忆离开情形。
• 缩小理论上限 1/2 与在线匹配中可实现的竞争比之间的差距。

提出的方法

• 引入一个虚拟二分图，其中每个顶点被复制为‘买家’与‘卖家’副本，以延迟匹配决策。
• 应用延迟贪心策略：将每个新买家与边际值（边权重减去当前匹配值）最大的卖家进行匹配。
• 采用分批算法，每隔 (d+1) 个周期在最新到达的参与者中计算一次最大权重匹配。
• 利用图覆盖框架分析随机顺序设置下的竞争比，将问题简化为有限图族。
• 应用约化技术以限制相关 d 值的数量，从而实现计算机辅助验证竞争比。
• 通过利用无记忆危险率特性与关键时间点的顶点存在概率保证，将算法扩展至随机离开情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 当顶点以对抗性顺序到达且在恰好 d 个周期后离开时，在线最大权重匹配的最佳可能竞争比是多少？
• RQ2 当离开时间从已知关键时间点可实现的无记忆分布中随机抽取时，竞争比如何变化？
• RQ3 当顶点到达顺序为均匀随机时，可实现的竞争比是多少？分批策略如何提升性能？
• RQ4 对未来的到达情况进行前瞻是否能提升竞争比？若能，提升幅度如何？
• RQ5 在线匹配中带有截止期限的理论极限是什么？算法能多接近 1/2 的竞争比上限？

主要发现

• 随机化延迟贪心算法在对抗性到达顺序与确定性离开情形下，实现了 1/4-竞争比。
• 对于无记忆随机离开情形，当离开时间在关键时间点被揭示时，改进的 PG 算法实现了 1/8-竞争比。
• 在随机到达顺序下，当顶点数量足够大时，分批算法的竞争比为 0.279。
• 分批算法的竞争比随前瞻能力提升：具有 l 步前瞻时，其竞争比为 (l+1)/(d+l+1)。
• 即使在随机到达顺序下，也不存在在线算法能实现优于 1/2-竞争比，从而确立了理论上限。
• 该分析依赖于有限图族与计算机辅助论证，以验证分批算法的 0.279 竞争比。