[论文解读] "McKay's E7 observation on the Baby Monster" and "McKay's E6 observation on the largest Fischer group"

Gerald Hoehn, Ching Hung Lam+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 44被引用 3

一句话总结

本文通过构造由仿射E6图导出的c=6/7 Virasoro向量所生成的顶点算子子代数与Fi24中二面体子群之间的对应关系，建立了对最大Fischer群Fi24的McKay E6观察的顶点算子代数（VOA）实现。证明了与这些向量关联的两个非交换σ型Miyamoto对合的乘积是3阶元素，从而在VOA VFnatural中将这些对合与Fi24的3-对合对应起来，为E6观察提供了VOA理论解释。

ABSTRACT

E7 part: In this paper, we study McKay's E7 observation on the Baby Monster. By investigating so called derived c=7/10 Virasoro vectors, we show that there is a natural correspondence between dihedral subgroups of the Baby Monster and certain subalgebras of the Baby Monster vertex operator algebra which are constructed by the nodes of the affine E7 diagram. This allows us to reinterpret McKay's E7 observation via the theory of vertex operator algebras. For a class of vertex operator algebras including the Moonshine module, we will show that the product of two Miyamoto involutions associated to derived c=7/10 Virasoro vectors in certain commutant vertex operator algebras is an element of order at most 4. For the case of the Moonshine module, we obtain the Baby monster vertex operator algebra as the commutant and we can identify the group generated by these Miyamoto involutions with the Baby Monster and recover the {3,4}-transposition property of the Baby Monster in terms of vertex operator algebras. E6 part: In this paper, we study McKay's E6-observation on the largest Fischer 3-transposition group Fi24. We investigate a vertex operator algebra VF of central charge 23+1/5 on which the Fischer group Fi24 naturally acts. We show that there is a natural correspondence between dihedral subgroups of Fi24 and certain vertex operator subalgebras constructed by the nodes of the affine E6 diagram by investigating so called derived Virasoro vectors of central charge 6/7. This allows us to reinterpret McKay's E6-observation via the theory of vertex operator algebras. It is also shown that the product of two non-commuting Miyamoto involutions of sigma-type associated to derived c=6/7 Virasoro vectors is an element of order 3, under certain general hypotheses on the vertex operator algebra. For the case of VF, we identify these involutions with the 3-transpositions of the Fischer group Fi24.

研究动机与目标

• 为将最大Fischer群Fi24与仿射E6 Dynkin图联系起来的McKay E6观察，提供一个顶点算子代数（VOA）理论解释。
• 在Fi24的二面体子群与由仿射E6图的节点构造的VOA之间建立自然对应关系。
• 在VOA的一般假设下，证明与导出的c=6/7 Virasoro向量关联的两个非交换σ型Miyamoto对合的乘积是3阶元素。
• 在VOA VFnatural中将这些对合与Fi24的3-对合对应起来，从而将Fi24实现为特定VOA的自同构群。
• 将先前在Monster群与Baby Monster群研究中使用的框架扩展至Fischer群情形，采用3A代数与导出的Virasoro向量。

提出的方法

• 构造一个中心指数为23 1/5的顶点算子代数VFnatural，使得Fi24在其上自然作用。
• 利用中心指数为6/7的导出Virasoro向量，在VFnatural中定义σ型Miyamoto对合。
• 通过这些导出的c=6/7 Virasoro向量，建立Fi24的二面体子群与由仿射E6图节点生成的VOA之间的对应关系。
• 应用与根格相关的交换子代数理论，分析嵌入VFnatural中的VOA的结构。
• 利用Monster群的3A代数，在VFnatural的背景下定义并分析对合及其乘积。
• 在VOA的一般假设下，验证与c=6/7 Virasoro向量关联的两个非交换σ型对合的乘积是3阶元素，并在VFnatural中确认该结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 McKay对最大Fischer群Fi24的E6观察，如何通过顶点算子代数理论加以解释？
• RQ2 Fi24的二面体子群与由仿射E6图构造的VFnatural子代数之间的确切对应关系是什么？
• RQ3 在何种一般条件下，与c=6/7 Virasoro向量关联的两个非交换σ型Miyamoto对合的乘积是3阶元素？
• RQ4 Fi24的3-对合如何在VOA VFnatural中被实现为Miyamoto对合？
• RQ5 3A代数与导出的Virasoro向量在构造与分类这些对合中起什么作用？

主要发现

• 在Fischer群Fi24的二面体子群与通过导出的c=6/7 Virasoro向量从仿射E6图节点构造的顶点算子子代数之间，建立了自然对应关系。
• 在VOA的一般假设下，证明了与导出的c=6/7 Virasoro向量关联的两个非交换σ型Miyamoto对合的乘积是3阶元素。
• 在VOA VFnatural中，与导出的c=6/7 Virasoro向量关联的σ型Miyamoto对合被识别为Fischer群Fi24的3-对合。
• 该构造将最大Fischer群Fi24实现为VOA VFnatural的自同构子群。
• 该方法为McKay的E6观察提供了VOA理论重述，类似于先前对Monster群与BabyMonster群的工作，但使用c=6/7 Virasoro向量而非c=1/2向量。
• 通过三元Golay码构造，确认了由三个此类导出c=6/7 Virasoro向量生成的子代数嵌入Leech格，得到一个与√2E8等距的子格。