[论文解读] McKean-Vlasov equations on infinite-dimensional Hilbert spaces with irregular drift and additive fractional noise

Martin Bauer, Thilo Meyer‐Brandis|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 31被引用 7

一句话总结

该论文在具有不规则漂移和加法型圆柱形分数布朗运动噪声的无穷维希尔伯特空间上，建立了麦凯恩-弗拉斯科夫方程弱解与强解的存在性与唯一性。对于在 (0,1) 范围内的分数噪声赫斯特参数，证明了在漂移系数关于概率测度变量连续且可测有界的条件下弱解的存在性，并在漂移与噪声参数满足额外的霍尔德型连续性与正则性条件时，推导出路径唯一性与马利亚文可微性。

ABSTRACT

This paper establishes results on the existence and uniqueness of solutions to McKean-Vlasov equations, also called mean-field stochastic differential equations, in an infinite-dimensional Hilbert space setting with irregular drift. Here, McKean-Vlasov equations with additive noise are considered where the driving noise is cylindrical (fractional) Brownian motion. The existence and uniqueness of weak solutions are established for drift coefficients that are merely measurable, bounded, and continuous in the law variable. In particular, the drift coefficient is allowed to be singular in the spatial variable. Further, we discuss existence of a pathwisely unique strong solution as well as Malliavin differentiability.

研究动机与目标

• 将有限维的麦凯恩-弗拉斯科夫方程推广至具有加法型圆柱形分数布朗运动噪声的无穷维希尔伯特空间。
• 在漂移系数的正则性要求最小的假设下，建立关于漂移系数的弱解存在性与唯一性，包括关于概率测度变量连续的可测有界漂移。
• 研究弱解在何种条件下会成为路径唯一强解并具备马利亚文可微性。
• 分析不同赫斯特参数（H ∈ (0,1)）对解性质的影响，特别是区分 H < 1/2、H = 1/2 和 H > 1/2 的情形。
• 通过将问题约化为与解的分布相关的随机系数随机微分方程，提供强解存在性与唯一性的充分条件。

提出的方法

• 将无穷维麦凯恩-弗拉斯科夫方程表述为 $ X_t = x + \int_0^t b(s,X_s,\mathbb{P}_{X_s})ds + \mathbb{B}_t $，其中 $ \mathbb{B}_t $ 为具有独立分量 $ B_t^{H_k} $ 的圆柱形分数布朗运动。
• 利用格里森定理与施瓦兹不动点定理，在漂移关于概率测度变量的连续性与有界性假设下，证明弱解的存在性。
• 采用基于克里洛夫方法的局部化与逼近技术，以处理不规则漂移，特别是具有奇异或不连续空间依赖性的漂移。
• 通过将麦凯恩-弗拉斯科夫方程约化为依赖于解分布的随机系数标准SDE，利用漂移的分布依赖结构，建立路径唯一性。
• 利用分数阶微积分与分数布朗运动的局部非确定性估计，控制噪声的正则性，并推导出对漂移的可积性条件。
• 通过结合强解的存在性与马利亚文微分学框架，利用噪声的非退化性与漂移的霍尔德连续性，推导出解的马利亚文可微性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有不规则漂移与加法型分数噪声的无穷维希尔伯特空间上，麦凯恩-弗拉斯科夫方程的弱解在何种条件下存在？
• RQ2 在该无穷维、分数噪声设定下，弱解在何种条件下会成为路径唯一强解？
• RQ3 对漂移系数（在空间、时间与分布变量上）需要满足何种正则性条件，才能保证解的马利亚文可微性？
• RQ4 不同赫斯特参数 $ H_k \in (0,1) $ 如何影响解的存在性与唯一性，特别是区分亚布朗运动与超布朗运动情形？
• RQ5 麦凯恩-弗拉斯科夫方程的解能否通过约化为依赖于解分布的随机系数标准SDE，表示为强解？

主要发现

• 对于漂移 $ b $ 可测、有界且关于坎托罗维奇-鲁宾施泰因度量在分布变量上连续的无穷维麦凯恩-弗拉斯科夫方程，弱解存在。
• 当 $ k \in I_+ $（即 $ H_k > 1/2 $）时，漂移投影 $ b_k $ 必须在时间、空间与分布变量上满足具有正指数 $ \gamma_k, \alpha_k, \beta_k $ 的霍尔德型连续性条件。
• 当关联的随机系数SDE具有唯一强解时，路径唯一性与强解存在性得以确立，条件为 $ \sup_{k \in I_+} H_k < 1 $ 且满足适当的利普希茨型条件（20）。
• 在漂移与噪声满足额外可积性与正则性条件时，存在唯一马利亚文可微强解，特别是当 $ I_0 \cup I_+ = \emptyset $，$ \sum_{k \in I_-} H_k < 1/6 $，且 $ \sup_{k \in I_-} H_k < 1/12 $ 时，同时漂移与噪声系数满足 $ \ell^1 $-可和性。
• 当漂移满足霍尔德型条件且 $ \sup_{k \in I_+} H_k < 1 $ 时，解在分布上唯一，确保关联SDE具有唯一强解。
• 在一维情形下，当 $ H > 1/2 $ 且漂移满足霍尔德条件 $ \gamma > H - 1/2 $，$ \alpha > 2H - 1 $，$ \beta > H - 1/2 $ 时，或当 $ H \leq 1/2 $ 且漂移在分布变量上以一致方式连续时，强解存在。