[论文解读] Mean curvature flow of singular Riemannian foliations

Marcos M. Alexandrino, Marco Radeschi|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文研究了紧致黎曼流形上广义等光栅叶层的平均曲率流（MCF）。在紧致性与基本平均曲率向量场条件下，证明了MCF会通过正则叶演化直至有限时间奇点，该奇点恒为I型，且收敛于奇异叶——推广了关于等光栅子流形与等距群作用的先前结果。

ABSTRACT

Given a singular Riemannian foliation on a compact Riemannian manifold, we study the mean curvature flow equation with a regular leaf as initial datum. We prove that if the leaves are compact and the mean curvature vector field is basic, then any finite time singularity is a singular leaf, and the singularity is of type I. These results generalize previous results of Liu and Terng, Pacini and Koike. In particular our results can be applied to partitions of Riemannian manifolds into orbits of actions of compact groups of isometries.

研究动机与目标

• 将球面与对称空间中等光栅子流形MCF的已知结果，推广至更广泛的广义等光栅叶层类。
• 研究在具有紧致叶与基本平均曲率向量场的奇异黎曼叶层中，从正则叶出发的MCF行为。
• 建立MCF产生有限时间奇点的条件，并表征此类奇点的性质。
• 证明奇点为I型，且流收敛于奇异叶，从而推广Liu-Terng与Koike的结果。

提出的方法

• 研究采用平均曲率流方程 $ \frac{d}{dt}\varphi_t = H(t) $，其中 $ H(t) $ 为演化子流形 $ L(t) $ 的平均曲率向量。
• 聚焦于紧致黎曼流形上具有基本平均曲率形式的广义等光栅叶层，且其叶为紧致的。
• 分析使用几何演化技术，包括第二基本形式范数 $ \|A_t\|_\infty $，以表征奇点类型。
• 应用比较几何与全纯性Jacobi场，分析横截于叶的测地线上体积的变化，尤其在非负曲率流形中。
• 有限时间奇点的证明依赖于体积单调性：$ \frac{d}{dt}\log\mathrm{vol}(L(t)) = -\|H\|^2 $，意味着体积递减，除非 $ H=0 $。
• 对于非负曲率流形上的极小叶层，构造一个管状邻域，其中体积在极小叶处取最大值，从而与无限时间MCF矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，广义等光栅叶层中正则叶的平均曲率流能始终保持在叶层的叶内？
• RQ2 此类流中的有限时间奇点是否可分类，且奇点类型是否恒为I型？
• RQ3 在紧致广义等光栅叶层中，正则叶的MCF是否在 $ t \to T $ 时收敛于奇异叶？
• RQ4 在非负曲率流形中，从等光栅叶层的正则叶出发的MCF是否必然产生有限时间奇点？
• RQ5 在极小叶层中是否存在体积最大性性质，可防止无限时间MCF的发生？

主要发现

• 在具有紧致叶与基本平均曲率向量场的广义等光栅叶层中，正则叶的平均曲率流在 $ t \in [0, T) $ 内完全通过正则叶演化。
• 若最大存在时间 $ T $ 为有限值，则流收敛于叶层的奇异叶。
• 在时间 $ T $ 的奇点为I型，即 $ \limsup_{t\to T^{-}} \|A_t\|_\infty^2 (T-t) < \infty $，确保曲率爆破受控。
• 在紧致且非负曲率的流形中，任意正则初始叶的等光栅叶层均存在有限时间MCF奇点。
• 对于非负曲率流形上的极小叶层，每个正则极小叶均为局部体积最大值，意味着无限时间MCF不可能发生。
• 横截于极小叶的测地线上，体积函数被其欧氏模型控制，满足 $ \mathrm{vol}(L_{\gamma_X(s)}) \leq \mathrm{vol}(L^\prime) $ 对 $ s \in [0, 1/\|A\|_\infty] $，从而保证局部最大性。