[论文解读] Measurable regularity properties of infinite-dimensional Lie groups

Helge Glöckner|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations被引用 15

一句话总结

本文为无限维李群建立了可度量化的正则性性质，通过将演化映射 Evol 扩展至 Lp([0,1], g)（其中 p ∈ [1, ∞]），引入了巴拿赫-李群与弗雷chet-李群的 Lp-正则性。证明了 Evol: Lp([0,1], g) → ACLp([0,1], G)₀ 是光滑的，将经典的 Ck-正则性推广至可测曲线与 Lp-可积曲线，并将其应用于微分同胚群与主丛的规范群等关键群类，确保了 Trotter 公式与交换子公式的有效性。

ABSTRACT

We consider differential equations of the form y'(t)=f(t,y(t)) on a (possibly infinite-dimensional) Lie group G, for f : [0,1] x G -> TG a time-dependent left invariant vector field with measurable (but not necessarily continuous) dependence on t. If a solution Evol(c):=y on [0,1] starting at the neutral element e of G exists for each f corresponding to an L^1-curve c : [0,1] -> g in the Lie algebra g of G, and Evol is smooth as a map from L^1([0,1],g) to C([0,1],G), then G is called L^1-regular. We show that all Banach-Lie groups are L^1-regular, as well as all direct limits of finite-dimensional Lie groups and many further classical examples of infinite-dimensional Lie groups, like diffeomorphism groups of paracompact finite-dimensional smooth manifolds. If a Lie group G is L^1-regular, then the Trotter product formula and the commutator formula hold in G, in a strong sense. The same conclusion holds if G merely satisfies certain weaker measurable regularity properties (like L^p-regularity), which are discussed as well. As a tool, we study differentiability properties of certain non-linear mappings to vector-valued Lebesgue spaces and spaces of vector-valued absolutely continuous functions.

研究动机与目标

• 将无限维李群中正则性的概念从 Ck-光滑曲线扩展至可测曲线与 Lp-可积曲线。
• 建立演化映射 Evol: Lp([0,1], g) → ACLp([0,1], G)₀ 在巴拿赫-李群与弗雷chet-李群中的存在性与光滑性。
• 证明 Lp-正则性蕴含 C0-正则性，并保证 Trotter 公式与交换子公式的有效性。
• 将该框架应用于重要李群类，包括微分同胚群与具有巴拿赫结构群的主丛的规范群。
• 通过引入 Lp-正则性、L∞rc-正则性与有界变差正则性，统一并推广正则性概念，揭示其蕴含关系的层级结构。

提出的方法

• 将 ACLp([0,1], g) 定义为导数属于 Lp([0,1], g) 的绝对连续曲线空间，构成一个巴拿赫-李代数。
• 在连续曲线空间中构造子群 ACLp([0,1], G)₀ = ⟨expG ◦γ : γ ∈ ACLp([0,1], g)⟩。
• 利用具有可测右端项的卡塔内奥里理论，证明演化映射 Evol: Lp([0,1], g) → ACLp([0,1], G)₀ 是良定义且光滑的。
• 通过将微分同胚群的切空间与紧支集向量场相联系，将 Evol 与流在流形上的行为关联起来。
• 通过投影极限与归纳极限方法，将该理论应用于弗雷chet-李群与巴拿赫-李群，并通过局部坐标与弱可积性验证正则性。
• 证明演化映射保持李群结构，并与群运算可交换，从而确保其对控制函数 γ 的光滑依赖性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无限维李群中，演化映射 Evol 是否可从 Ck([0,1], g) 扩展至 Lp([0,1], g)（其中 p ∈ [1, ∞]）？
• RQ2 Lp-正则性对巴拿赫-李群与弗雷chet-李群中演化映射的结构与光滑性有何影响？
• RQ3 Lp-正则性、L∞rc-正则性与有界变差正则性之间存在何种层级关系？它们对经典公式（如 Trotter 与交换子公式）有何含义？
• RQ4 微分同胚群与具有巴拿赫结构群的主丛的规范群在多大程度上满足可测正则性性质？
• RQ5 演化方程的卡塔内奥里解的存在性是否意味着在 Lp 设置下 Evol 映射的光滑性？

主要发现

• 对任意弗雷chet-李群 G 与 p ∈ [1, ∞]，若 G 是 Lp-正则的，则对所有 q ≥ p，G 也是 Lq-正则的，从而确立了正则性的层级结构。
• L∞-正则性蕴含 L∞rc-正则性，后者又蕴含 R-正则性（有界变差正则性），而 R-正则性进一步蕴含 C0-正则性。
• 对所有 p ∈ [1, ∞]，演化映射 Evol: Lp([0,1], g) → ACLp([0,1], G)₀ 是光滑的，将经典的 Ck-正则性推广至可测与可积曲线。
• 对 σ-紧致有限维流形 M 的微分同胚群 Diffc(M)，Evol 对应于可测向量场 f(t, y) = γ(t)(y) 的全局流，其中 η(t) = Φf_{t,0}。
• 该构造确保演化映射与群结构及切丛识别相容，通过同构 αφ: Tφ Diffc(M) → Γφ 实现。
• 结果表明，Trotter 乘积公式与交换子公式对 Lp-正则李群成立，将其适用范围扩展至控制理论与表示论中的可测控制。