[论文解读] Measure-Theoretically Mixing Subshifts of Minimal Word Complexity

Darren Creutz|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2022

semigroups and automata theory被引用 4

一句话总结

该论文通过确立亚指数词复杂度是子移位系统中测度论强混合性的精确阈值，解决了符号动力学中一个长期存在的问题。它构造了词复杂度可任意接近线性但依然具有强混合测度的子移位系统，同时证明了非超线性复杂度将导致部分刚性，从而无法实现混合。

ABSTRACT

We resolve a long-standing open question on the relationship between measure-theoretic dynamical complexity and symbolic complexity by establishing the exact word complexity at which measure-theoretic strong mixing manifests: For every superlinear $f : \mathbb{N} o \mathbb{N}$, i.e. $f(q)/q o \infty$, there exists a subshift admitting a (strongly) mixing of all orders probability measure with word complexity $p$ such that $p(q)/f(q) o 0$. For a subshift with word complexity $p$ which is non-superlinear, i.e. $\liminf p(q)/q < \infty$, every ergodic probability measure is partially rigid.

研究动机与目标

• 解决子移位系统中测度论强混合性发生的最小词复杂度这一开放问题。
• 证明词复杂度增长快于任意线性函数（但可任意缓慢地超线性）的子移位系统仍可具有强混合测度。
• 证明词复杂度非超线性（即 liminf p(q)/q < ∞）的子移位系统无法实现强混合，因为所有遍历测度均具有部分刚性。
• 阐明在超线性阈值处，结构性复杂度（S-adelic，部分刚性）与动力学复杂度（强混合）之间的清晰二分。

提出的方法

• 构造一类新的单级变换，称为“准楼梯”变换，以实现亚二次但超线性的词复杂度下的混合性。
• 基于区间交换和塔构建技术的递归构造方法，以控制词复杂度的同时确保混合性质。
• 应用涉及柱集和返回时间的测度论估计，以验证所有阶的强混合性。
• 通过塔的层级上的递归论证，确保在长返回时间下正测度交集的存在，从而在非超线性情况下确认部分刚性。
• 使用Cassaigne词复杂度公式：p(q) = p(m) + ∑_{ℓ=m}^{q−1} |{w ∈ L^{RS} : ||w|| = ℓ}| 分析复杂度增长。
• 应用平均遍历定理和测度论同构论证，将子移位的结构性质与其动力学行为联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于子移位系统，其词复杂度函数 p(q) 的最小形式是什么，才能允许存在强混合不变测度？
• RQ2 在词复杂度可任意接近线性的子移位系统中，强混合测度是否可能存在？
• RQ3 是否存在一个词复杂度的精确阈值，可将部分刚性系统与强混合系统区分开来？
• RQ4 非超线性词复杂度与存在具有部分刚性的遍历测度之间有何关系？
• RQ5 S-adelic结构在多大程度上限制了子移位系统的动力学复杂度？

主要发现

• 对于每个从 ℕ → ℕ 的超线性函数 f，满足 f(q)/q → ∞，均存在一个词复杂度为 p(q) 的子移位系统，使得 p(q)/f(q) → 0，且该系统允许所有阶的强混合测度。
• 所构造的示例为单级变换，因此是所有阶混合的，且其词复杂度可任意接近线性增长。
• 若子移位系统具有非超线性词复杂度（即 liminf p(q)/q < ∞），则其所有遍历测度均为部分刚性，因此无法实现强混合。
• 这种部分刚性意味着此类子移位系统与S-adelic移位系统共轭，后者已知具有高度结构性。
• 在超线性复杂度处存在一个临界点，该点将具有至多可数个遍历测度的系统（非超线性）与具有不可数个遍历测度的系统（超线性）区分开来，与Cyr和Kra的结果一致。
• 本文确立了超线性词复杂度是结构性（S-adelic，部分刚性）与动力学复杂性（强混合）行为之间的精确分界线。