[论文解读] Measure, Topology and Probabilistic Reasoning in Cosmology

Erik Curiel|PhilSci-Archive (University of Pittsburgh)|Sep 7, 2015

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 29被引用 12

一句话总结

本文批判性地审视了宇宙学中的概率推理，认为依赖于拓扑与测度论的标准方法在时空的无穷维空间中失效。它表明，在缺乏物理上有意义的测度的情况下，宇宙学中关于奇点和宇宙学常数的普遍性、稳定性及似然性主张均缺乏严格基础。

ABSTRACT

I explain the difficulty of making various concepts of and relating to probability precise, rigorous and physically significant when attempting to apply them in reasoning about objects (e.g., spacetimes) living in infinite-dimensional spaces, working through many examples from cosmology. I focus on the relation of topological to measure-theoretic notions of and relating to probability, how they diverge in unpleasant ways in the infinite-dimensional case, and are difficult to work with on their own as well in that context. Even in cases where an appropriate family of spacetimes is finite-dimensional, however, and so admits a measure of the relevant sort, it is always the case that the family is not a compact topological space, and so does not admit a physically significant, well behaved probability measure. Problems of a different but still deeply troubling sort plague arguments about likelihood in that context, which I also discuss. I conclude that most standard forms of argument used in cosmology to estimate the likelihood of the occurrence of various properties or behaviors of spacetimes have serious mathematical, physical and conceptual problems.

研究动机与目标

• 识别并分析将概率推理应用于宇宙学时空（尤其是无穷维空间）时的基础性问题。
• 考察宇宙学语境下拓扑性大（如普遍性、稳定性）与测度论性概率（如大测度、零测集）之间的脱节。
• 质疑宇宙学中广泛使用的论点——即在未明确定义且物理上意义明确的测度下，将拓扑普遍性等同于高概率——的有效性。
• 证明即使在有限维时空族中，由于缺乏紧致性，也无法存在行为良好的概率测度。
• 批判依赖隐含测度但未证明其存在性或与拓扑相容性的观察者选择论与奇点相关论点。

提出的方法

• 分析与宇宙学相关的无穷维空间中概率的观念与数学基础，特别是时空族。
• 对比拓扑概念（开集、第一纲集、对小扰动的稳定性）与测度论概念（大测度、零测集），并揭示其在无穷维空间中的不相容性。
• 应用洛伦兹分裂定理及相关刚性定理，表明无奇点时空在拓扑上稳定，但未必在测度论上典型。
• 通过温伯格的宇宙学常数人择论点，剖析其对近弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克（near-FLRW）时空上未加根据的测度的依赖。
• 利用函数空间上的博雷尔测度与拓扑框架，证明在无穷维时空族上不存在物理上有意义的测度。
• 主张由于缺乏相容测度，即使建立了拓扑稳定性，也无法有效支持“普遍性”或“典型性”的论断。

实验结果

研究问题

• RQ1 在未明确定义测度的情况下，能否可靠地将时空族中的拓扑普遍性与稳定性等同于概率上的可能性？
• RQ2 为何宇宙学中的标准概率论论点（如关于奇点可能性或宇宙学常数值的论点）在无穷维时空空间中失效？
• RQ3 是否存在与宇宙学推理中使用的自然拓扑相容的、物理上有意义的博雷尔测度，作用于时空族上？
• RQ4 有限维性与紧致性假设如何影响宇宙学模型空间中行为良好概率测度的存在性？
• RQ5 若底层测度空间在数学上未明确定义，人择推理在多大程度上可以被证明是合理的？

主要发现

• 在无穷维时空空间中，拓扑性大（如开稠密集）并不蕴含正测度，因此概率结论无法成立。
• 即使在有限维时空族中，由于缺乏紧致性，也无法存在物理上有意义且行为良好的概率测度。
• 声称无奇点时空‘测度为零’的论断在未定义博雷尔测度的情况下无效，尽管其在拓扑上是稳定的。
• 人择论点中关于宇宙学常数的推理，依赖于对近弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克（near-FLRW）时空的测度，但该测度在无穷维非均匀扰动空间上并不存在，因此缺乏数学基础。
• 许多宇宙学论点（如基于洛伦兹分裂定理的论点）的推理假设了相容测度但未提供依据，导致其概率结论在数学上站不住脚。
• 本文结论认为，由于缺乏明确定义且物理上有意义的测度，大多数标准宇宙学概率论点存在深层的数学、物理与概念缺陷。