[论文解读] Measuring nonstabilizerness via multifractal flatness

Xhek Turkeshi, Marco Schiró+1 more|arXiv (Cornell University)|May 19, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 102被引用 8

一句话总结

该论文通过引入多重分形平整度将非稳定性（魔法）与波函数结构联系起来，展示其在克利福德轨道上的平均值与稳定子熵的关系，并且证明在量子设备上可观测性。

ABSTRACT

Universal quantum computing requires nonstabilizer (magic) quantum states. Quantifying the nonstabilizerness and relating it to other quantum resources is vital for characterizing the complexity of quantum many-body systems. In this work, we prove that a quantum state is a stabilizer if and only if all states belonging to its Clifford orbit have a flat probability distribution on the computational basis. This implies, in particular, that multifractal states are nonstabilizers. We introduce multifractal flatness, a measure based on the participation entropy that quantifies the wave-function distribution flatness. We demonstrate that this quantity is analytically related to the stabilizer entropy of the state and present several examples elucidating the relationship between multifractality and nonstabilizerness. In particular, we show that the multifractal flatness provides an experimentally and computationally viable nonstabilizerness certification. Our work unravels the direct relation between the nonstabilizerness of a quantum state and its wave-function structure.

研究动机与目标

• 推动并形式化量化量子态中非稳定性（魔法）的必要性，以理解计算资源。
• 通过参与熵和分形分析将非稳定性与波函数结构联系起来。
• 引入多重分形平整度并证明其与稳定子熵及非稳定性的联系。
• 提供通过克利福德轨道平均来估计非稳定性的实用方法，并演示在实验中的可观测性。

提出的方法

• 从计算基分布定义稳定子熵 M_q(|Ψ⟩) 和参与熵 S_q(|Ψ⟩)。
• 引入多重分形平整度 F(|Ψ⟩) = I_3(|Ψ⟩) − I_2(|Ψ⟩)^2，并证明其非负性，在平坦分布时取等号。
• 证明定理1：克利福德轨道的 F 的平均值等于 2(1 − 2^{-M_2(|Ψ⟩)})/((d+1)(d+2))。
• 将平整度与非稳定性相关联，并推导固定 C 的可操作证据 F(C|Ψ⟩)。
• 讨论在克利福德群上进行蒙特卡罗采样以估计平均平整度，从而得到 M_2。
• 通过噪声较多的中尺度量子设备演示可行性。

Figure 1: Pictorial representation of the replica picture. Each page is a folding of $C|\Psi\rangle$ and its adjoint. Applying $\Lambda^{(q)}_{k}$ on each site imply a sum over the same physical index and results in book boundary conditions.

实验结果

研究问题

• RQ1 非稳定性是否仅能通过计算基上的波函数结构来表征？
• RQ2 状态的克利福德轨道平整度与其稳定子熵 M_2 之间是否存在精确关系？
• RQ3 多重分形平整度是否可作为实用的魔法证据并在当前量子设备上测量？
• RQ4 多重分形特性（非平坦的参与分布）在各种态类别（单量子比特、乘积态、Haar 随机态）中如何导致非稳定性？

主要发现

• 稳定态具有平坦的参与分布；相反，非稳定态在克利福德轨道上的参与分布不平坦（定理1与推论1）。
• 克利福德轨道的多重分形平整度平均值与稳定子熵相关，记为 overline{F} = 2(1 − 2^{-M_2(|Ψ⟩)})/((d+1)(d+2))。
• 多重分形平整度提供一种可以通过在克利福德单位进行蒙特卡罗采样来估计的实用非稳定性证明。
• 示例显示非稳定性与非平坦的参与熵相关；随机 Haar 态具有较高的 M_2 和非平坦但不一定平坦的参与分布。
• 数值显示从 F 估计 M_2 需要对系统规模呈指数采样量级，但对于较小的 N，基于局部克利福德电路的探测是可行的；IBM 量子设备实验表明通过误差缓解可以观测到 F。
• 本工作建立了态的非稳定性与其波函数结构之间的直接联系，使实用的魔法检测成为可能。

Figure 2: Determining stabilizer entropy with multifractal flatness $\mathcal{F}$ . Upper panel: statistical error $\sigma(M_{2})$ of stabilizer entropy determined from $\mathcal{N}_{\mathrm{real}}$ measurements of $\mathcal{F}$ for a random Haar state; the asymptotic $\mathcal{N}^{-1/2}_{\mathrm{re