[论文解读] Memoryless output nullification and canonical forms, for time varying systems

Gera Weiss|ArXiv.org|Mar 15, 2005

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文提出了一种无记忆输出反馈控制算法，可在有界步数内一致地将有限维线性时变单输入单输出系统完全零化，前提是系统完全可控、完全可观测，并且对所有 $ k $ 满足条件 $ c_k \operatorname{adj}(A_k)b_k \neq 0 $。该方法利用时变控制器规范型，保证在最多 $ 2(n^4 + n^3 + n^2) $ 步内实现零化，并通过系统不变量推导出显式反馈律。

ABSTRACT

We study the possibility of nullifying time-varying systems with memoryless output feedback. The systems we examine are linear single-input single-output finite-dimensional time-varying systems. For generic completely controllable and completely observable discrete-time systems, we show that any state at any time can be steered to the origin within finite time. An algorithm for nullification and an upper bound for nullification time, depending only on the system's dimension, are provided. The algorithm is described using a representation of the system in time-varying controller canonical form. We verify that every completely controllable system has such a representation. The application of the nullification algorithm to sampled-data systems is also analysed: we show that a controllable continuous-time time-varying system with analytic coefficients can be nullified utilising zero-hold sampling of the output and time-varying memoryless linear feedback; for generic observables, almost any sampling period can be used. We also prove that controllability of time-varying systems with analytic coefficients is preserved under zero-hold sampling at almost any rate.

研究动机与目标

• 建立时变线性系统可利用无记忆输出反馈实现零化的充分条件。
• 开发一种显式算法，用于计算在有限时间内实现状态零化的反馈增益。
• 推导仅依赖于系统维数的零化时间的上界。
• 分析具有解析系数的连续时间系统在零阶保持采样下的可控性保持性。

提出的方法

• 通过代数等价变换将系统表示为时变控制器规范型。
• 将不变量 $ c_k \operatorname{adj}(A_k)b_k \neq 0 $ 作为无记忆反馈下可零化的关键判据。
• 构造反馈律 $ u_k = F_k y_k $，使得闭环系统在有限步内到达原点。
• 应用递归零化过程，依次在 $ n $ 个周期内将状态分量逐个驱动至零。
• 利用伴随矩阵和行列式在相似变换下的不变性，确保在不同规范型之间保持零化条件。
• 通过证明在几乎所有采样率下，具有解析系数的系统在零阶保持采样下可控性得以保持，分析采样数据系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，时变线性系统可通过无记忆输出反馈实现零化？
• RQ2 能否推导出仅依赖于系统维数的零化时间的有限上界？
• RQ3 控制器规范型如何促进无记忆反馈设计以实现零化？
• RQ4 零阶保持采样是否在时变连续时间系统（具有解析系数）中保持可控性？
• RQ5 条件 $ c_k \operatorname{adj}(A_k)b_k \neq 0 $ 对所有 $ k $ 是否为时变系统中零化的必要且充分条件？

主要发现

• 任何满足对所有 $ k $ 有 $ c_k \operatorname{adj}(A_k)b_k \neq 0 $ 的完全可控且完全可观测的时变离散时间系统，均可通过无记忆输出反馈实现一致零化。
• 零化时间的上界为 $ 2(n^4 + n^3 + n^2) $ 步，其中 $ n $ 为系统维数。
• 控制器规范型表示确保零化条件简化为仅需检查输出向量 $ c_k $ 的第一个分量。
• 条件 $ c_k \operatorname{adj}(A_k)b_k \neq 0 $ 在代数等价变换下保持不变，从而支持在规范型下进行分析。
• 对于具有解析系数的连续时间系统，几乎在任何采样率下，零阶保持采样均保持可控性。
• 该算法通过控制器规范型显式构造反馈系数 $ F_k $，从而支持实际实现。