[论文解读] Meromorphic Projective Structures, Opers and Monodromy

Titouan Sérandour|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2023

Geometric and Algebraic TopologyMathematics被引用 3

一句话总结

本文将 Hejhal 于 1975 年关于复射影结构的单值映射的结果推广至具有固定留数类型的极点的亚纯射影结构。通过构造一族光滑的亚纯 opers 和奇异 Riccati 叠，结合等单值形变与 Ehresmann 横截性，作者证明了单值映射（现包含 Stokes 数据）是局部全纯微分同构，将经典微分同构结果推广至亚纯情形。

ABSTRACT

The complex projective structures considered is this article are compact curves locally modeled on $\mathbb{CP}^1$. To such a geometric object, modulo marked isomorphism, the monodromy map associates an algebraic one: a representation of its fundamental group into $\operatorname{PGL}(2,\mathbb{C})$, modulo conjugacy. This correspondence is neither surjective nor injective. Nonetheless, it is a local diffeomorphism [Hejhal, 1975]. We generalize this theorem to projective structures admitting poles (without apparent singularity and with fixed residues): the corresponding monodromy map (including Stokes data) is a local biholomorphism.

研究动机与目标

• 将 Hejhal 关于单值映射为局部微分同构的经典结果，从全纯情形推广至亚纯射影结构。
• 将 Stokes 数据纳入具有固定留数类型极点的亚纯射影结构的单值对应中。
• 在包含 Stokes 数据的模空间之间建立亚纯射影结构模空间与表示模空间之间的局部全纯微分同构。
• 在亚纯射影结构的背景下，将 Riemann-Hilbert 对应关系推广至不规则奇点情形。
• 通过 opers 和 Riccati 叠提供一个几何框架，以理解不规则奇点存在下的单值映射。

提出的方法

• 通过最小的双有理模型，构造与无明显奇点的亚纯射影结构相关的光滑族亚纯 PGL(2,C)-opers。
• 定义具有固定形式数据的奇异 Riccati 叠模空间，确保其光滑性并兼容等单值形变。
• 利用在乘积空间上的奇异 Riccati 叠的普遍解析族，局部建模等单值形变。
• 对射影结构模空间嵌入奇异 Riccati 叠模空间的映射应用 Ehresmann 横截性，以确保其与单值纤维横截。
• 利用解析族的普遍性质，诱导出对 opers 和叠族的局部单射。
• 利用定义域不变性及源与目标的复维数相等，得出单值映射为局部全纯微分同构的结论。

Figure 1: If the $\varphi_{ij}:=\varphi_{i}\circ\varphi_{j}^{-1}$ denote the change of coordinate charts of $P$ as well as the associated Möbius transformations, then the monodromy along the loop $\gamma$ covered by the charts $U_{0},\dots,U_{n}$ is obtained by composition of the $\varphi_{ij}$ : $\

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，PGL(2,C)-表示模空间中的表示可作为具有固定极点留数的亚纯射影结构的单值表示？
• RQ2 从亚纯射影结构模空间到包含 Stokes 数据的表示模空间的单值映射是否为局部全纯微分同构？
• RQ3 在亚纯 opers 和 Riccati 叠的背景下，等单值形变与不规则 Riemann-Hilbert 对应关系如何相互作用？
• RQ4 当在亚纯射影结构中引入 Stokes 数据时，是否可使单值映射在局部保持单射性？
• RQ5 具有固定奇点的亚纯射影结构模空间的几何结构是什么？其与表示簇有何关系？

主要发现

• 具有固定极点留数的亚纯射影结构模空间到包含 Stokes 数据的 PGL(2,C)-表示模空间的单值映射是局部全纯微分同构。
• 光滑族亚纯 opers 的构造确保了其对应的 Riccati 叠在等单值形变下平滑且相容地变化。
• 射影结构模空间到 Riccati 叠模空间的嵌入与单值映射的纤维横截，保证了局部单射性。
• 亚纯射影结构模空间的维数与包含 Stokes 数据的表示空间维数一致，支持了全纯微分同构的结论。
• 利用等单值形变与 Ehresmann 横截性，可将单射性问题约化为局部微分拓扑论证。
• 该结果将 Hejhal 于 1975 年的 C∞-微分同构结果推广至亚纯情形，现处于全纯范畴并包含 Stokes 数据。

Figure 2: The surface $\mathbb{S}_{P}$ with marked points $\mathbb{M}_{P}$ .