[论文解读] Functors and Computations in Floer homology with Applications Part II

Claude Viterbo|arXiv (Cornell University)|May 3, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用 169

一句话总结

本文证明 Floer 同调与 GF-homology 同构，且 FH*(DT*N) 与 H*(ΛN) 同构，方法通过生成函数与梯度流分析。

ABSTRACT

The results in this paper concern computations of Floer cohomology using generating functions. The first part proves the isomorphism between Floer cohomology and Generating function cohomology introduced by Lisa Traynor. The second part proves that the Floer cohomology of the cotangent bundle (in the sense of Part I), is isomorphic to the cohomology of the loop space of the base. This has many consequences, some of which were given in Part I (GAFA, Geom. funct. anal. Vol. 9 (1999) 985-1033), others will be given in forthcoming papers. The results in this paper had been announced (with indications of proof) in a talk at the ICM 94 in Z{ü}rich. Up to typos, this is the revised version from 2003.

研究动机与目标

• 用生成函数推动对 Floer 同调的计算.
• 建立 Lagrangian 对之间的 Floer 同调与 GF-homology 的同构。
• 证明 DT*N 的 Floer 同调等于循环空间同调 H*(ΛN)。
• 扩展 Part I 的结果并为循环空间拓扑的应用奠定基础。

提出的方法

• 定义并使用在无穷远处二次的生成函数 S 来描述 Lagrangian 子manifold.
• 构造 A_H 以在作用 A 与生成函数 S 之间插值，并通过临界点与 Floer 轨迹定义 FH*(L0,L1; a,b) 。
• 通过将 Floer 复形与 GF 同调进行比较，证明 FH*(L0,L1; a,b) ≃ GF*(L0,L1; a,b) 。
• 通过包含对角子流形、辛同构的图像以及 Conley 指数论证的序列同构，将 DT*N 的 Floer 同调与 H*(ΛN) 联系起来。
• 利用梯度样流与近似复结构，将 Floer 轨迹与生成函数 S 的 Morse 理论轨迹联系起来。
• 利用 Legendre 对偶性与作用泛函分析，将哈密顿 Floer 理论与回路空间泛函联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于在无穷大处二次的生成函数对的 Lagrangian 对，FH*(L0,L1; a,b) 是否等同于 GF*(L0,L1; a,b)？
• RQ2 对于余切丛，FH*(DT*N) 是否可以被识别为底空间循环空间的同调 H*(ΛN)？
• RQ3 将 Floer 理论与生成函数和循环空间同调联系起来的中间同构和构造（如对角线技巧、图像押 等）有哪些？
• RQ4 梯度流扰动与 Conley 指数技术如何揭示 Floer–GF–循环空间等价性？

主要发现

• FH*(L0,L1; a,b) 对于无穷大处二次的生成函数是同构于 GF*(L0,L1; a,b) 。
• 对于 cotangent 纤维丛，FH*(DT*N) 与 H*(ΛN) 同构，即 N 的循环空间的同调。
• 该同构框架扩展到以 S^1 为等变的同调，且系数为有理系数。
• 本文提供了一个详细的构造，表明 Floer 轨迹对应于通过插值 A_H 与适当的近似复结构得到的生成函数 S 的梯度轨迹。