[论文解读] Meshless physics-informed deep learning method for three-dimensional solid mechanics

Diab Abueidda, Qiyue Lu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 83被引用 154

一句话总结

本文提出一种无网格的物理信息深度学习方法，称为深度配点法（Deep Collocation Method, DCM），可在无需数据生成或网格划分的情况下求解固体力学中的三维偏微分方程。通过使用配点法训练深度神经网络以满足强形式PDE及其边界条件，该方法实现了对线弹性、超弹性以及具有各向同性和运动硬化行为的弹塑性问题的高精度、实时求解。

ABSTRACT

Deep learning and the collocation method are merged and used to solve partial differential equations describing structures' deformation. We have considered different types of materials: linear elasticity, hyperelasticity (neo-Hookean) with large deformation, and von Mises plasticity with isotropic and kinematic hardening. The performance of this deep collocation method (DCM) depends on the architecture of the neural network and the corresponding hyperparameters. The presented DCM is meshfree and avoids any spatial discretization, which is usually needed for the finite element method (FEM). We show that the DCM can capture the response qualitatively and quantitatively, without the need for any data generation using other numerical methods such as the FEM. Data generation usually is the main bottleneck in most data-driven models. The deep learning model is trained to learn the model's parameters yielding accurate approximate solutions. Once the model is properly trained, solutions can be obtained almost instantly at any point in the domain, given its spatial coordinates. Therefore, the deep collocation method is potentially a promising standalone technique to solve partial differential equations involved in the deformation of materials and structural systems as well as other physical phenomena.

研究动机与目标

• 开发一种有限元法的无网格替代方法，用于求解固体力学中的PDE。
• 消除对传统数值方法（如有限元法）生成数据的需求，后者常成为数据驱动模型的瓶颈。
• 利用单一训练好的深度神经网络实现实时、快速的位移场与应力场推理。
• 将物理信息深度学习扩展至复杂材料行为，包括大变形及具有硬化行为的弹塑性。
• 在三维多种本构模型中展示深度配点法的可行性与准确性。

提出的方法

• 该方法使用深度神经网络（DNN）近似PDE强形式中的位移场。
• 损失函数由强形式PDE的残差、边界条件（本质与自然边界条件）构成，并通过Adam和L-BFGS等优化器进行最小化。
• 通过自动微分计算位移场的梯度，从而实现应变、应力及内部变量的评估。
• 该方法应用于三种本构模型：线弹性、neo-Hookean超弹性以及具有各向同性和运动硬化的von Mises弹塑性。
• 对于路径相关弹塑性问题，采用伪时间推进方案，状态变量在各步骤间传递。
• 配点采样通过蒙特卡洛方法实现，分别设置内部区域、位移边界和牵引边界采样点集。

实验结果

研究问题

• RQ1 物理信息深度学习方法是否可在无需有限元法或其他数值方法生成数据的情况下求解三维固体力学问题？
• RQ2 仅基于PDE强形式和边界条件，深度神经网络在多大程度上能准确近似线弹性、超弹性和弹塑性问题的解？
• RQ3 深度配点法在不同材料模型（包括具有复杂硬化行为的材料）中是否保持高精度与高效性？
• RQ4 采样策略与优化技术如何影响DCM在三维问题中的收敛性与精度？
• RQ5 该方法是否可在不重新训练或重新采样的情况下处理路径相关问题（如弹塑性）？

主要发现

• DCM在三维悬臂梁问题中对线弹性、超弹性和弹塑性问题的求解结果与FEM结果在定性和定量上均高度一致。
• 对于C = 0.2 m的弹塑性情况，DCM预测的竖向位移、von Mises应力及塑性应变分量与FEM结果高度吻合。
• 训练完成后，该方法可在任意空间点实现近乎即时的解推理，避免了昂贵的重复模拟。
• 自动微分的使用使得无需基于网格的积分即可准确计算梯度与应力场。
• 该方法避免了网格划分与切线矩阵组装，降低了有限元法中常见的计算开销。
• 本研究证明，物理信息深度学习可作为复杂固体力学问题的独立求解器，无需数据驱动的预训练。