[论文解读] The mixed deep energy method for resolving concentration features in finite strain hyperelasticity

Jan N. Fuhg, Nikolaos Bouklas|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 33被引用 134

一句话总结

本文提出混合深度能量法（mDEM），一种物理信息神经网络框架，通过预测位移和第一皮奥拉-柯西应力分量，增强了深度能量法（DEM）。通过引入应力输出，mDEM在有限大变形超弹性问题中提升了应力与位移集中特征的分辨率，在带孔洞、缺口和局部载荷的基准问题上实现了与有限元法（FEM）相当的精度，同时采用基于Delaunay三角剖分的积分方案处理非结构化训练点。

ABSTRACT

The introduction of Physics-informed Neural Networks (PINNs) has led to an increased interest in deep neural networks as universal approximators of PDEs in the solid mechanics community. Recently, the Deep Energy Method (DEM) has been proposed. DEM is based on energy minimization principles, contrary to PINN which is based on the residual of the PDEs. A significant advantage of DEM, is that it requires the approximation of lower order derivatives compared to formulations that are based on strong form residuals. However both DEM and classical PINN formulations struggle to resolve fine features of the stress and displacement fields, for example concentration features in solid mechanics applications. We propose an extension to the Deep Energy Method (DEM) to resolve these features for finite strain hyperelasticity. The developed framework termed mixed Deep Energy Method (mDEM) introduces stress measures as an additional output of the NN to the recently introduced pure displacement formulation. Using this approach, Neumann boundary conditions are approximated more accurately and the accuracy around spatial features which are typically responsible for high concentrations is increased. In order to make the proposed approach more versatile, we introduce a numerical integration scheme based on Delaunay integration, which enables the mDEM framework to be used for random training point position sets commonly needed for computational domains with stress concentrations. We highlight the advantages of the proposed approach while showing the shortcomings of classical PINN and DEM formulations. The method is offering comparable results to Finite-Element Method (FEM) on the forward calculation of challenging computational experiments involving domains with fine geometric features and concentrated loads.

研究动机与目标

• 解决经典物理信息神经网络（PINN）和DEM在有限大变形超弹性问题中无法准确捕捉细观尺度应力与位移集中特征的局限性。
• 克服现有物理信息神经网络方法在具有几何奇异性（如孔洞和缺口）问题中的局限性。
• 通过增强基于能量的深度学习方法，开发一种更鲁棒、更通用的固体力学正向与反向问题求解框架。
• 提出一种与非结构化训练点分布兼容的数值积分方案，以提升复杂几何形状下的灵活性。
• 通过深度学习方法实现对具有集中载荷和应力集中区的挑战性超弹性问题的高精度求解，其精度可与有限元法（FEM）相媲美。

提出的方法

• 通过在神经网络中引入第一皮奥拉-柯西应力张量分量作为额外输出，扩展深度能量法（DEM），形成混合深度能量法（mDEM）。
• 基于能量最小化原理构建损失函数，最小化系统的总势能，包括应变能和外载荷功。
• 使用神经网络同时近似位移场与应力场，其中应力场由应变能函数对形变梯度的导数导出。
• 采用基于Delaunay三角剖分的数值积分方案，实现对非结构化训练点集的精确积分，尤其适用于具有孔洞或缺口的区域。
• 通过损失函数中的罚项弱式施加本质边界条件（位移），而诺伊曼边界条件（牵引力）则通过应力输出自然逼近。
• 使用随机梯度下降法训练网络，以最小化基于能量的损失函数，自动微分用于计算能量项所必需的一阶导数。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否一种同时预测位移场与应力场的物理信息神经网络框架，能在有限大变形超弹性问题中比PINN或DEM更准确地解析应力集中特征？
• RQ2 将应力分量作为网络输出，如何提升诺伊曼边界条件与局部应力场的近似精度？
• RQ3 基于Delaunay的积分方案是否能有效处理复杂几何形状（如带缺口或穿孔区域）中的非结构化训练点分布？
• RQ4 mDEM在具有几何奇异性与集中载荷的问题中，其求解精度在多大程度上可与有限元法（FEM）相媲美？
• RQ5 鉴于mDEM对局部特征的分辨率提升，其是否能有效应用于超弹性问题的反问题与参数估计？

主要发现

• mDEM在所有测试案例中均实现了与FEM相当的应力场与位移场分辨率，包括单轴拉伸、局部牵引载荷以及带圆形孔洞的梁结构。
• 与PINN和DEM不同，mDEM成功捕捉到了孔洞和缺口等几何不连续区域附近的应力集中现象，如在带圆形孔洞的梁结构案例中所展示。
• 基于Delaunay的积分方案可在非结构化训练点集中实现稳定且精确的能量评估，使mDEM适用于无需结构化网格的复杂域。
• PINN和DEM在高应力梯度区域因依赖残差最小化和低阶导数近似，导致局部应力特征解析存在显著误差。
• mDEM的损失函数收敛稳定，无早期饱和现象，表明其优化行为优于PINN（后者易陷入局部极小值）。
• mDEM可直接预测应力场，从而更准确地实现诺伊曼边界条件的强制施加，尤其在局部载荷场景下表现更优。