[论文解读] Metaplectic Whittaker category and quantum groups : the "small" FLE

Dennis Gaitsgory, S. D. Lysenko|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文通过利用配分结构、Hecke作用和半无限几何，构建并分析了马蒂普莱克（metaplectic）Whittaker范畴，建立了马蒂普莱克设定下的“小”FLEC（Frobenius-Langlands-elliptic）等价性。证明了马蒂普莱克Whittaker范畴与Hecke本征对象范畴等价，通过量子群对偶性和马蒂普莱克情形下的几何Satake，将经典的Whittaker-Hecke对应关系推广至马蒂普莱克群。

ABSTRACT

We prove that the category of Hecke eigensheaves in the metaplectic Whittaker category of the affine Grassmannian is equivalent to the category of modules over the small quantum group. This a step towards proving the FLE: the fundamental local equivalence in the quantum geometric Langlands theory.

研究动机与目标

• 建立马蒂普莱克设定下的“小”FLEC（Frobenius-Langlands-elliptic）等价性，将经典的Whittaker-Hecke对应关系推广至马蒂普莱克群。
• 通过配分代数、配置空间和马蒂普莱克数据的几何Satake，定义并研究马蒂普莱克Whittaker范畴。
• 证明马蒂普莱克Whittaker范畴与Hecke本征对象范畴等价，将经典的Hecke本征层性质推广至马蒂普莱克情形。
• 建立马蒂普莱克Whittaker范畴与仿射Grassmannian上的半无限IC层之间的全局-局部等价性。
• 发展马蒂普莱克几何Satake及其对偶理论，包括马蒂普莱克对偶数据和单位元结构的作用。

提出的方法

• 通过雅克布（Jacquet）函子和阿廷-施莱尔（Artin-Schreier）层的*-卷积，将马蒂普莱克Whittaker范畴构造为带标记点的配置空间上的层的全子范畴。
• 应用傅里叶-德利涅变换的图像，通过函子 $\operatorname{Av}^{\mathbb{G}_a,\chi}_*$ 和 $\operatorname{Av}^{\mathbb{G}_a,\chi}_!$ 将*-Kirillov范畴与!-Kirillov范畴联系起来。
• 利用伴随函子 $j_*({\mathsf{e}})[3]\overset{!}{\star}-$ 和 $j_!({\mathsf{e}})[-1]\overset{*}{\star}-$，证明 $\operatorname{Kir}_*(\mathcal{Y}) \simeq \operatorname{Kir}_!(\mathcal{Y})$，其中 $j: \mathbb{G}_a \setminus \{0\} \hookrightarrow \mathbb{G}_a$。
• 应用莱夫谢茨原理和黎曼-希尔伯特对应，将问题约化为正则D-模，证明在构造层设定下*-与!-Kirillov函子的等价性。
• 通过马蒂普莱克对偶数据发展马蒂普莱克几何Satake对应关系，并证明其与 Verdier 对偶的相容性。
• 利用 Ran 空间形式化和半无限轨道，将Whittaker范畴的全局定义（作为余不变量）与局部定义等价化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过量子群对偶性将经典的Whittaker-Hecke对应关系推广至马蒂普莱克设定？
• RQ2 马蒂普莱克Whittaker范畴在配分代数和配置空间下的结构是什么？
• RQ3 *-与!-Kirillov函子在马蒂普莱克设定下如何关联？它们是否等价？
• RQ4 半无限IC层在马蒂普莱克Whittaker范畴中扮演什么角色？它与全局Hecke性质有何关联？
• RQ5 能否通过全局-局部等价性和雅克布函子在马蒂普莱克Whittaker范畴上建立Hecke本征对象结构？

主要发现

• 马蒂普莱克Whittaker范畴与Hecke本征对象范畴等价，将经典的Hecke本征层性质推广至马蒂普莱克群。
• *-Kirillov与!-Kirillov范畴通过互为逆的函子等价，涉及 $j_*({\mathsf{e}})[3]\overset{!}{\star}-$ 和 $j_!({\mathsf{e}})[-1]\overset{*}{\star}-$，该等价性通过黎曼-希尔伯特对应证明。
• 马蒂普莱克Whittaker范畴被定义为 $\operatorname{Shv}({\mathcal{Y}})^{\mathbb{G}_m}$ 的全子范畴，其在Artin-Schreier层通过*-卷积作用下保持不变。
• 马蒂普莱克Whittaker范畴的全局定义（作为余不变量）与通过Ran空间形式化得到的局部定义等价。
• 仿射Grassmannian上的半无限IC层是Hecke本征对象，其Hecke性质通过扭曲的 $T$-等变结构在全局层面确立。
• 马蒂普莱克Whittaker范畴上的t-结构与Hecke作用相容，不可约对象可通过分次Hecke范畴和马蒂普莱克对偶数据描述。