[论文解读] Metaplectic Demazure operators and Whittaker functions

Gautam Chinta, Paul E. Gunnells+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文通过使用在有理函数上作用的模形式 Weyl 群，引入了 Demazure 和 Demazure-Lusztig 算子的模形式类比，从而实现了对 $p$-进域上半单群的模形式覆盖上的球面 Whittaker 函数的计算。关键结果表明，这些算子恢复了先前工作的公式，并通过 $q$-变形的乘积公式和 Demazure 算子表达了 Whittaker 函数。

ABSTRACT

In a previous paper the first two named authors defined an action of a Weyl group on rational functions and used it to construct multiple Dirichlet series. These series are related to Whittaker functions on an n-fold metaplectic cover of a reductive group. In this paper, we define metaplectic analogues of the Demazure and Demazure-Lusztig operators. We show how these operators, together with results of McNamara, can be used to compute Whittaker functions on metaplectic groups over p-adic fields.

研究动机与目标

• 为半单群的模形式覆盖上的 Whittaker 函数发展一个 Demazure 特征公式在模形式情形下的类比。
• 统一并推广由 Weyl 群多重 Dirichlet 系列和晶体基分解所导出的 $p$-进 Whittaker 函数的现有公式。
• 通过类似于经典 Demazure 算子的算子，在模形式 Whittaker 函数与几何表示理论之间建立联系。
• 提供一个计算框架，利用模形式 Demazure 和 Demazure-Lusztig 算子，恢复 Chinta-Gunnells 和 McNamara 的已知结果。

提出的方法

• 基于 [CG10] 中引入的模形式 Weyl 群作用于有理函数，定义模形式 Demazure 和 Demazure-Lusztig 算子。
• 证明这些算子满足与经典情形相同的 braid 关系和二次关系，确保其与标准表示论结构的一致性。
• 利用对字符 $x^\nu$ 的模形式作用，定义作用于单项式 $x^{w_0\theta}$ 的算子，其中 $\theta$ 是一个极大权。
• 推导出 Demazure 算子的模形式版本特征公式（定理 3），将特征表达为 $q$-变形项的乘积与作用于最高权单项式的 Demazure 算子的复合。
• 建立 Demazure-Lusztig 算子的伴随恒等式（定理 4），表明其作用产生一个带符号和 $q$-变形项的 Weyl 群上的和。
• 将这些结果与 McNamara 的公式（定理 15）结合，将 $\tilde{G}$ 上的 Whittaker 函数表达为 $q$-变形项的乘积与作用于 $x^{w_0\theta}$ 的 Demazure 算子的复合。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典的 Demazure 特征公式推广到 Weyl 群在有理函数上非平凡作用的模形式情形？
• RQ2 是否可以定义模形式 Demazure 和 Demazure-Lusztig 算子，使其满足与经典情形相同的代数关系？
• RQ3 这些算子在多大程度上恢复或统一了已知的 $p$-进 Whittaker 函数在模形式覆盖上的公式？
• RQ4 对字符的模形式作用如何与球面 Whittaker 函数的结构及其在晶体基上的分解相关联？

主要发现

• 模形式 Demazure 算子满足与经典 Demazure 算子相同的 braid 和二次关系，确保其代数一致性。
• 模形式 Demazure 特征公式（定理 3）将特征表达为 $\prod_{\alpha\in\Phi^{+}}(1 - q^{-1}x^{m(\alpha)\alpha}) \mathcal{D}_{w_0}(x^{w_0\lambda})$，推广了经典情形。
• Demazure-Lusztig 算子产生一个和公式：$\sum_{w\in W} \mathcal{T}_w(x^{w_0\lambda})$，其结构与模形式情形下的 Whittaker 函数一致。
• 在极大权 $\varpi^\lambda$ 处的 Whittaker 函数为 $\delta^{-1/2} \mathcal{W}_{\widetilde{\chi}}(\varpi^\lambda) = \prod_{\alpha\in\Phi^{+}}(1 - q^{-1}x^{m(\alpha)\alpha}) \mathcal{D}_{w_0}(x^{w_0\lambda})$，恢复并统一了先前的结果。
• 该框架恢复了 McNamara 对模形式覆盖上球面 Whittaker 函数的公式，表明 $p$-进 Whittaker 函数是 Weyl 群多重 Dirichlet 系列的局部因子。