[论文解读] Method of lines transpose: High order L-stable O(N) schemes for parabolic equations using successive convolution

Matthew F. Causley, Hana Cho+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2015

Numerical methods for differential equations参考文献 42被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的高阶、L-稳定 $Ø(N)$ 求解器，用于抛物型PDE，结合了线法转置（MOL T）与连续卷积（预解展开），实现了空间和时间上的任意精度。该方法能够高效、稳定且准确地求解线性和非线性扩散问题，包括Allen-Cahn方程和Fitzhugh-Nagumo方程，并证明了刚性衰减特性及 $Ø(N)$ 计算成本。

ABSTRACT

We present a new solver for nonlinear parabolic problems that is L-stable and achieves high order accuracy in space and time. The solver is built by first constructing a single-dimensional heat equation solver that uses fast O(N) convolution. This fundamental solver has arbitrary order of accuracy in space, and is based on the use of the Green's function to invert a modified Helmholtz equation. Higher orders of accuracy in time are then constructed through a novel technique known as successive convolution (or resolvent expansions). These resolvent expansions facilitate our proofs of stability and convergence, and permit us to construct schemes that have provable stiff decay. The multi-dimensional solver is built by repeated application of dimensionally split independent fundamental solvers. Finally, we solve nonlinear parabolic problems by using the integrating factor method, where we apply the basic scheme to invert linear terms (that look like a heat equation), and make use of Hermite-Birkhoff interpolants to integrate the remaining nonlinear terms. Our solver is applied to several linear and nonlinear equations including heat, Allen-Cahn, and the Fitzhugh-Nagumo system of equations in one and two dimensions.

研究动机与目标

• 开发一种高阶、L-稳定且计算高效的数值格式，用于求解具有任意空间与时间精度的抛物型PDE。
• 通过降低内存使用量与计算成本，克服传统ADI与隐式方法的局限性，同时保持稳定性和精度。
• 将线法转置方法扩展至实现刚性衰减与抛物问题的可证明收敛性，借助预解展开。
• 通过积分因子方法与高阶Hermite-Birkhoff插值，实现非线性反应-扩散系统的高效求解。
• 在基准问题（包括1D与2D的Allen-Cahn与Fitzhugh-Nagumo方程）上展示该方法的鲁棒性与高效性。

提出的方法

• 该方法采用线法转置（MOL T），首先进行时间离散，通过格林函数与快速 $Ø(N)$ 卷积求解得到的修正亥姆霍兹方程。
• 通过基于求积的边界积分离散化实现高阶空间精度，对光滑问题实现谱精度。
• 采用连续卷积（预解展开）构造高阶时间积分器，实现时间上的任意阶精度。
• 通过预解展开框架证明稳定性和收敛性，确保所有精度阶次下均具有刚性衰减特性。
• 对于多维问题，采用逐维分裂求解器依次处理，保持 $Ø(N)$ 复杂度。
• 非线性项通过积分因子方法处理，其中线性扩散项隐式求解，非线性项使用高阶Hermite-Birkhoff插值进行积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于MOL T与连续卷积构造出适用于线性热方程的高阶、L-稳定、$Ø(N)$ 格式？
• RQ2 连续卷积技术是否能确保时间上任意阶精度下的刚性衰减与收敛性？
• RQ3 该方法能否扩展至Allen-Cahn与Fitzhugh-Nagumo等非线性抛物系统，实现高阶精度与稳定性？
• RQ4 该方法在1D与2D的线性与非线性问题中，其收敛速率与精度表现如何？
• RQ5 在典型刚性问题中严格的步长约束下，该方法是否能保持效率与稳定性？

主要发现

• 所提格式每时间步的计算成本为 $\mathcal{O}(N)$，使其在大规模问题中具有高度效率。
• 对于1D热方程，该方法在时间方向上分别实现 $\mathcal{O}(\Delta t^p)$ 的收敛性，其中 $p=2,4,6$ 对应二阶、四阶与六阶格式。
• 在2D中，该方法在时间方向保持二阶收敛性，空间方向对热方程实现谱收敛性，且在网格细化下表现稳定。
• 对于Allen-Cahn方程，该格式在时间方向实现二阶收敛性，$L^\infty$ 误差随 $\Delta t$ 减半从 $5.17 \times 10^{-6}$ 降低至 $1.296 \times 10^{-8}$。
• Fitzhugh-Nagumo系统成功模拟出螺旋波结构，与已有文献结果一致，采用二阶格式且 $\Delta t = 0.0008$。
• 该方法在所有测试精度阶次下均表现出刚性衰减，证实了其对刚性抛物型问题的L-稳定性和鲁棒性。