[论文解读] Metric Regularity. Theory and Applications - a survey

A. D. Ioffe|arXiv (Cornell University)|May 29, 2015

Optimization and Variational Analysis参考文献 74被引用 11

一句话总结

本综述系统阐述了度量正则性理论，作为变分分析的核心理论，聚焦其理论基础及在优化与分析中的应用。该研究建立了正则性的度量准则、扰动下的稳定性，并将其应用于广义方程、误差界和微分包含问题，关键结果表明：在满足Lipschitz连续性和开性条件时，通过包含算子的度量正则性可证明微分包含解的存在性。

ABSTRACT

Metric regularity has emerged during last 2-3 decades as one of the central concepts of variational analysis. The roots of this concept go back to a circle of fundamental regularity ideas of classical analysis embodied in such results as the implicit function theorem, Banach open mapping theorem, theorems of Lyusternik and Graves, on the one hand, and the Sard theorem and the Thom-Smale transversality theory, on the other. The three principal themes that are in the focus of attention are: (a) regularity criteria (containing quantitative estimates for rates of regularity) including formal comparisons of their relative power and precision; (b) stability problems relating to the effect of perturbations of the mapping on its regularity properties, on the one hand, and to solutions of equations, inclusions etc. on the other; (c) role of metric regularity in analysis and optimization. All of them are studied at three levels of generality: the general theory for (set-valued) mappings between metric spaces is followed by a detailed study of Banach and finite dimensional theories. There is a number of new results, both theoretical and relating to applications, and some known results are supplied with new, usually simpler, proofs.

研究动机与目标

• 系统化并呈现度量正则性理论的最新进展，作为变分分析中的核心工具。
• 将经典分析结果（如隐函数定理）与现代非光滑、集值优化设置相连接。
• 展示度量技术在简化证明和提供巴拿赫空间与有限维空间中定量估计方面的强大作用。
• 建立度量正则性与优化中关键概念（如误差界、约束规范性、最优控制）之间的联系。
• 通过统一的度量框架，为分析与优化领域的研究人员提供自包含且易于理解的参考文献。

提出的方法

• 基于度量空间与巴拿赫空间中的距离估计与开性准则，发展了正则性的度量理论。
• 引入并分析了通过满射模与开性模（特别是满射模 $\mathrm{sur}_m$）定义的局部与非局部正则性。
• 应用度量隐函数定理与强正则性，分析Lipschitz扰动下的稳定性。
• 在巴拿赫空间中利用切向导数、共导数与次微分，推导出原问题与对偶问题的正则性估计。
• 通过将存在性问题转化为包含算子的度量正则性，将理论应用于广义方程与微分包含。
• 采用Milyutin正则性条件与Hausdorff距离，在Lipschitz与开性假设下证明解的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用度量工具将经典正则性结果（如隐函数定理）推广至非光滑与集值设置？
• RQ2 在巴拿赫空间与有限维空间中，集值映射度量正则性的必要与充分条件是什么？
• RQ3 度量正则性与优化问题中的误差界、平稳性及次正则性有何关联？
• RQ4 度量正则性在何种方式下可实现无需依赖选择定理或迭代方法的微分包含解的存在性证明？
• RQ5 在无限维设置中，度量准则能否提供比经典变分分析技术（如次微分或共导数方法）更简洁透明的证明？

主要发现

• 度量正则性理论提供了一个定量的、基于度量的框架，可推广经典结果，并适用于不可微与集值映射。
• 当扰动模小于原映射的满射模时，度量正则性在Lipschitz扰动下保持稳定。
• 通过包含算子 $I - \mathcal{F}$ 的度量正则性，建立了微分包含柯西问题解的存在性，其中满射模满足下界 $\mathrm{sur}_m(I - \mathcal{F}) \geq 1 - k_\tau$。
• 当 $\xi_\tau = \int_0^\tau d(\dot{x}_0(t), F(t,x_0(t)))dt < (1 - k_\tau)r$ 时，存在解 $x(\cdot)$ 在 $[0,\tau]$ 上满足 $\|x(\cdot)\|_\tau < \rho$，其中 $k_\tau = \int_0^\tau k(t)dt$。
• 微分包含解的存在性证明是自包含的，避免了迭代或选择方法，而是依赖于非局部正则性理论。
• 在无限维设置中，度量正则性技术通常比基于经典次微分或共导数的方法提供更简洁、更清晰的证明。