[论文解读] Metric systolicity and two-dimensional Artin groups

Jingyin Huang, Damian Osajda|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 38被引用 3

一句话总结

本文引入了度量拟单纯复形这一新的几何框架——一种对非正曲率的推广——并证明所有二维Artin群在这样的复形上存在几何作用。由此得出新结果：共轭问题可解，Dehn函数为二次型，且有限表示的子群继承度量拟单纯性与拟等距刚性特征。

ABSTRACT

We introduce the notion of metrically systolic simplicial complexes. We study geometric and large-scale properties of such complexes and of groups acting on them geometrically. We show that all two-dimensional Artin groups act geometrically on metrically systolic complexes. As direct corollaries we obtain new results on two-dimensional Artin groups and all their finitely presented subgroups: we prove that the Conjugacy Problem is solvable, and that the Dehn function is quadratic. We also show several large-scale features of finitely presented subgroups of two-dimensional Artin groups, lying background for further studies concerning their quasi-isometric rigidity.

研究动机与目标

• 开发一种新的几何框架——度量拟单纯复形——以推广二维Artin群的非正曲率性质。
• 解决关于二维Artin群算法性质的长期开放问题，例如共轭问题的可解性。
• 建立二维Artin群有限表示子群的大尺度几何特征，包括填充半径与拟等距嵌入性质。
• 提供一种非CAT(0)的替代模型，以替代现有的非正曲率模型，从而在CAT(0)作用失效的二维情形中实现几何分析。

提出的方法

• 通过度量条件引入度量拟单纯复形：所有顶点邻域中的本质环路的角长度至少为$2\pi$。
• 使用CAT(0)圆盘图作为关键工具，分析度量拟单纯复形中的填充性质与曲率。
• 通过细分与拟单纯化标准表示复形，为二维Artin群构造一个修改后的Cayley复形。
• 在所得复形上赋予分片欧氏度量，使得三角形具有预设角度（$\pi/2$，$\pi/2n$），以确保度量拟单纯性。
• 应用圆盘图技术，证明度量拟单纯复形具有二次Dehn函数，并满足二维拟圆盘的Morse引理。
• 利用二维Artin群在构造复形上的作用，推导出群及其子群的算法与几何性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为二维Artin群定义一种类似非正曲率的结构，其强度弱于CAT(0)但依然足够强大，以推导出算法与几何结果？
• RQ2 所有二维Artin群的共轭问题是否可解，且Dehn函数是否为二次型？
• RQ3 二维Artin群的有限表示子群是否继承度量拟单纯性，并表现出拟等距刚性？
• RQ4 度量拟单纯性能否用于建立二维Artin群中阿贝尔子群与可解子群的拟等距嵌入？

主要发现

• 所有二维Artin群在度量拟单纯复形上存在几何作用，从而为它们建立了新的几何模型。
• 每个二维Artin群的Dehn函数均为二次型，这是度量拟单纯结构的直接推论。
• 在群为无挠且幂共轭蕴含相等的前提下，所有二维Artin群的共轭问题均可解。
• 二维Artin群的有限表示子群本身也是度量拟单纯的，继承了其所在群的几何与算法性质。
• 度量拟单纯复形中2-球面闭链的填充半径为常数，表明具有强的大尺度几何控制。
• 二维Artin群的阿贝尔子群是拟等距嵌入的，非平凡的可解子群要么同构于$\mathbb{Z}$，要么是$\mathbb{Z}^2$的有限覆盖。