[论文解读] Metrics of Special Curvature with Symmetry

Brandon Dammerman|ArXiv.org|Oct 24, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 51被引用 6

一句话总结

本文研究具有对称性的流形上的特殊曲率度量——特别是爱因斯坦度量和常数量曲率度量，重点聚焦于等余维一和环状结构。它建立了将数量曲率方程积分成包含度量函数与曲率分量的闭式表达式的必要且充分条件 ∑dⱼμⱼ = 0，从而在对称性约束下实现此类度量的显式构造。

ABSTRACT

Various curvature conditions are studied on metrics admitting a symmetry group. We begin by examining a method of diagonalizing cohomogeneity-one Einstein manifolds and determine when this method can and cannot be used. Examples, including the well-known Stenzel metrics, are discussed. Next, we present a simplification of the Einstein condition on a compact four manifold with $T^{2}$-isometry to a system of second-order elliptic equations in two-variables with well-defined boundary conditions. We then study the Einstein and extremal Kahler conditions on Kahler toric manifolds. After constructing explicitly new extremal Kahler and constant scalar curvature metrics, we demonstrate how these metrics can be obtained by continuously deforming the Fubini-Study metric on complex projective space in dimension three. We also define a generalization of Kahler toric manifolds, which we call fiberwise Kahler toric manifolds, and construct new explicit extremal Kahler and constant scalar curvature metrics on both compact and non-compact manifolds in all even dimensions. We also calculate the Futaki invariant on manifolds of this type. After describing an Hermitian non-Kahler analogue to fiberwise Kahler toric geometry, we construct constant scalar curvature Hermitian metrics with $J$-invariant Riemannian tensor. In dimension four, we write down explicitly new constant scalar curvature Hermitian metrics with $J$-invariant Ricci tensor. Finally, we integrate the scalar curvature equation on a large class of cohomogeneity-one metrics.

研究动机与目标

• 确定在等余维一流形上，数量曲率方程何时可被积分成闭式解。
• 表征里奇张量在特定几乎复结构下保持不变的条件，从而实现度量的显式构造。
• 将凯勒环状几何推广至纤维上凯勒环状流形，并在所有偶数维中构造新的极值度量与常数量曲率度量。
• 将框架扩展至具有 J-不变里奇张量的赫米特非凯勒度量，在四维中产生新的显式例子。
• 通过对称性约化与黎曼子丛形式，提供一种统一求解曲率方程的方法。

提出的方法

• 利用黎曼子丛理论与奥尼尔形式，分解对称流形上曲率分量。
• 应用等余维一结构，将爱因斯坦方程与数量曲率方程约化为单变量常微分方程组。
• 推导出条件 ∑dⱼμⱼ = 0，其等价于数量曲率方程存在闭式解。
• 引入由 ∂/∂x 与 X₀ 定义的映射 ŴJ，以分析几乎复结构下里奇张量的不变性。
• 在推导出的条件下，通过求解集成的数量曲率方程 (11.7)，构造显式度量。
• 应用卡鲁扎-克莱因丛构造与对称性约化，将凯勒环状几何推广至纤维上凯勒环状流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，等余维一流形上的数量曲率方程可被积分为闭式表达式？
• RQ2 当由度量与对称性结构定义的映射 ŴJ 作用下，里奇张量在何时保持不变？
• RQ3 如何在推广的凯勒环状流形上显式构造极值凯勒度量与常数量曲率度量？
• RQ4 福塔基不变量在表征纤维上凯勒环状流形上常数量曲率度量时起何作用？
• RQ5 能否显式构造具有 J-不变里奇张量的赫米特非凯勒度量？其曲率性质为何？

主要发现

• 当且仅当 ∑dⱼμⱼ = 0 时，数量曲率方程可被积分为闭式表达式 (11.7)，其中 μⱼ = 2Aⱼ′′/Aⱼ − (Aⱼ′/Aⱼ)² + bⱼ²/Aⱼ²。
• 条件 ∑dⱼμⱼ = 0 等价于里奇张量在映射 ŴJ 作用于分布 ⟨∂/∂x⟩ ⊕ 𝔪₀ 下保持不变。
• 在 ℂP¹×ℂP¹ 与 ℂP²♯ℂP²̄ 上构造了具有 J-不变里奇张量的显式常数量曲率度量。
• 在 ℙ(𝒪⊕𝒪(1,−1)) 上（以 ℂP¹×ℂP¹ 为底），通过弗比尼-斯蒂udy度量的形变，显式构造了新的极值凯勒度量与常数量曲率度量。
• 提出凯勒环状流形的一般化——纤维上凯勒环状流形——其在所有偶数维中均允许显式解。
• 计算了推广的纤维上凯勒环状流形的福塔基不变量，为常数量曲率度量的存在性提供了障碍。