[论文解读] Metrics on universal covering of projective variety

Robert Treger|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2012

Rings, Modules, and Algebras参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文在具有大、残余有限且非阿们的 fundamental group 的非奇异射影概形 $X$ 的万有覆叠 $U_X$ 上构造了特殊度量——$Λ_{\mathcal{L}}$、$Σ_{\mathcal{L}}$ 和 $β$。在这些条件下，证明了 $U_X$ 是 $\mathbb{C}^n$ 中的有界 Stein 域，从而建立了统一化结果，并在残余有限性与非阿默性条件下证实了沙法列维奇关于全纯凸性的猜想。

ABSTRACT

Let U be a universal covering of a connected nonsingular projective variety X with large and residually finite fundamental group. We construct metrics on U and provide another version of the uniformization theorem, namely: if the fundamental group of X is, in addition, nonamenable then U is a bounded Stein domain. The Appendix contains a proof of the Shafarevich conjecture provided the fundamental group is residually finite.

研究动机与目标

• 仅基于 $\pi_1(X)$ 的假设，建立非奇异射影概形 $X$ 的万有覆叠 $U_X$ 的统一化定理。
• 利用全纯函数和 canonical bundles 的截面，在 $U_X$ 上构造度量——特别是 $\Lambda_{\mathcal{L}}$、$\Sigma_{\mathcal{L}}$ 和 $\beta$。
• 当 $\pi_1(X)$ 非阿默时，证明 $U_X$ 是有界 Stein 域，从而证实沙法列维奇关于全纯凸性的猜想。
• 将对角化构造推广至 $U_X$，并利用其证明子水平集的相对紧致性，这是证明 Stein 性的关键步骤。
• 在残余有限性与非交换 fundamental group 的条件下，将结果推广至奇异正规射影概形，详细内容留待未来工作。

提出的方法

• 利用定义嵌入 $X \hookrightarrow \mathbb{P}^r$ 的非常 ample 线丛 $\mathcal{L}$，在 $U_X$ 上构造度量 $\Lambda_{\mathcal{L}}$。
• 当 $\pi_1(X)$ 非阿默时，利用 $U_X$ 上关于体积形式 $dv_{\Lambda}$ 的 $L^2$ 全纯函数，定义一种 Bergman 型度量 $\Sigma_{\mathcal{L}}$。
• 利用大 $q$ 时 $\mathcal{K}_X^q$ 的 $L^2$ 截面，定义度量 $\beta$，从而导出 $U_X$ 到无穷维射影空间的自然嵌入。
• 将对角化构造应用于 $U_X$ 上的 Kähler 度量，通过沿路径的解析延拓，将对角化势 $\mathbb{P}_{U_X}$ 全局延拓。
• 利用 Oka-Grauert-Narasimhan 定理，通过证明子水平集 $E_\alpha = \{u \in U_X \mid \mathbb{P}_{U_X}(u) < \alpha\}$ 是相对紧致的。
• 依赖 Campana-Deligne 定理，将一般曲线截面 $C \subset X$ 的几何结构提升至黎曼曲面 $R_C = \tau^{-1}(C)$，并利用覆叠塔结构证明对角化在离散集上无界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\pi_1(X)$ 满足何种条件时，射影概形的万有覆叠 $U_X$ 可以作为有界 Stein 域被统一化？
• RQ2 能否仅基于 fundamental group 的假设（如残余有限性与非阿默性）证明沙法列维奇关于全纯凸性的猜想？
• RQ3 当 $X$ 具有大且残余有限的 $\pi_1(X)$，且一般曲线截面 $C$ 满足 $g(C) \geq 2$ 时，如何在 $U_X$ 上全局延拓对角化？
• RQ4 非阿默性在确保存在具有足够增长性的 Bergman 型度量以蕴含 Stein 性方面起到何种作用？
• RQ5 该统一化结果能否推广至具有非交换、残余有限 $\pi_1(X)$ 的奇异正规射影概形？

主要发现

• 具有大、残余有限且非阿默 $\pi_1(X)$ 的非奇异射影概形 $X$ 的万有覆叠 $U_X$ 是 $\mathbb{C}^n$ 中的有界 Stein 域。
• 在给定假设下，对角化势 $\mathbb{P}_{U_X}$ 可在 $U_X$ 上全局延拓，这对证明子水平集的相对紧致性至关重要。
• 子水平集 $E_\alpha = \{u \in U_X \mid \mathbb{P}_{U_X}(u) < \alpha\}$ 在 $U_X$ 中是相对紧致的，这表明 $U_X$ 是全纯凸的，因而为 Stein 域。
• 通过大 $q$ 时 $\mathcal{K}_X^q$ 的 $L^2$ 截面构造度量 $\beta$，可导出 $U_X$ 到无穷维射影空间的自然嵌入，从而表明 $\pi_1(X)$ 极其庞大。
• 作为 $\pi_1(X)$ 非阿默时 $U_X$ 上 Bergman 型度量 $\Sigma_{\mathcal{L}}$ 存在的推论，canonical bundle $\mathcal{K}_X$ 是 ample 的。
• 该统一化定理的证明不依赖于 Griffiths 统一化定理，而是基于对角化与 Oka-Grauert-Narasimhan 定理，提供了一种全新且直接的证明。