[论文解读] Miller-Abrahams random resistor network, Mott random walk and 2-scale homogenization

Alessandra Faggionato|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文利用双尺度均质化方法，建立了米勒-亚伯拉罕随机电阻网络的几乎必然均质化，证明其无限体积电导率由一个有效扩散矩阵 $D$ 控制，该矩阵与莫特随机游走的极限扩散矩阵一致。结果确认了低温电导率衰减的物理莫特定律，并给出了 $D$ 的变分表征，将现有严格界推广至电阻网络模型。

ABSTRACT

The Miller-Abrahams (MA) random resistor network is given by a complete graph on a marked simple point process with edge conductivities depending on the marks and decaying exponentially in the edge length. As Mott random walk, it is an effective model to study Mott variable range hopping in amorphous solids as doped semiconductors. By using 2-scale homogenization we prove that a.s. the infinite volume conductivity of the MA resistor network is given by an effective homogenized matrix $D$. Moreover $D$ admits a variational characterization and equals the limiting diffusion matrix of Mott random walk. This result clarifies the relation between the two models and it also allows to extend to the MA resistor network the existing bounds on $D$ in agreement with the physical Mott law [12,14]. The latter concerns the low temperature stretched exponential decay of conductivity in amorphous solids. The techniques developed here can be applied to other models, as e.g. the random conductance model [11], without ellipticity assumptions.

研究动机与目标

• 在无限体积极限下严格建立米勒-亚伯拉罕随机电阻网络的均质化。
• 通过证明米勒-亚伯拉罕电阻网络与莫特随机游走共享相同的极限扩散矩阵 $D$，阐明二者之间的联系。
• 在电阻网络模型背景下，严格推导有效电导率矩阵 $D$ 的变分表征，并验证其满足低温电导率衰减的莫特定律。
• 将莫特随机游走中关于 $D$ 的现有严格界推广至电阻网络模型，确认其与物理预期的一致性。
• 开发一种基于双尺度收敛的框架，适用于无需椭圆性假设的一般随机电阻网络。

提出的方法

• 使用双尺度均质化技术，分析在标记简单点过程上定义的米勒-亚伯拉罕随机电阻网络的电导率。
• 应用双尺度收敛，推导大系统尺寸极限下的有效电导率矩阵 $D$。
• 依赖于从系统能量泛函导出的 $D$ 的变分表征。
• 通过弱极限在 $L^2$ 空间中关于随机测度 $\nu^\varepsilon$，建立电势与电流场的收敛性。
• 利用电流场的反对称性及内部节点的无散度条件，简化网络电流平衡。
• 应用双尺度收敛理论，处理依赖于空间距离与能量标记的随机长程电导率。

实验结果

研究问题

• RQ1 米勒-亚伯拉罕随机电阻网络的无限体积电导率是否以几乎必然收敛于一个确定性的有效矩阵 $D$？
• RQ2 电阻网络的有效矩阵 $D$ 是否与莫特随机游走的极限扩散矩阵完全相同？
• RQ3 在电阻网络模型背景下，$D$ 的变分表征能否被严格推导？
• RQ4 为莫特随机游走推导出的 $D$ 的界是否可推广至米勒-亚伯拉罕电阻网络，从而确认电导率衰减的莫特定律？
• RQ5 双尺度均质化是否可应用于无需电导率椭圆性条件的随机电阻网络？

主要发现

• 米勒-亚伯拉罕随机电阻网络的无限体积电导率以几乎必然收敛于 $D \cdot \rho$，其中 $D$ 为确定性有效矩阵，$\rho$ 为点的平均密度。
• 有效矩阵 $D$ 与莫特随机游走的极限扩散矩阵完全一致，建立了两个模型之间的严格联系。
• $D$ 具有变分表征，可由此推导出与莫特定律一致的上下界。
• $D$ 的界与莫特定律预测的拉伸指数衰减一致：$D(\beta) \sim \exp\bigl(-c\,\beta^{\frac{1+\alpha}{\alpha+d+1}}\bigr)$，其中 $d \geq 2$。
• 本研究提出的双尺度均质化框架适用于一般随机电阻网络，无需对电导率施加椭圆性假设。
• 结果被推广至电势场，表明其在相同标度下均质化为一个调和极限。