[论文解读] Min-Max Correlation Clustering via MultiCut

Saba Ahmadi, Sainyam Galhotra+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2019

Advanced Clustering Algorithms Research参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文提出最小-最大相关聚类（min-max correlation clustering），一种新颖的聚类级目标函数，旨在最小化每簇中的最大不一致数，从而确保聚类质量的均衡。该文提出首个非平凡的近似算法，采用基于 MultiCut 的方法，在一般加权图上实现了 O(√(log n · max{log|E⁻|, log k})) 的近似比，并在 K_{r,r}-minor-free 图和完全图上获得了更优的界。

ABSTRACT

Correlation clustering is a fundamental combinatorial optimization problem arising in many contexts and applications that has been the subject of dozens of papers in the literature. In this problem we are given a general weighted graph where each edge is labeled positive or negative. The goal is to obtain a partitioning (clustering) of the vertices that minimizes disagreements - weight of negative edges trapped inside a cluster plus positive edges between different clusters. Most of the papers on this topic mainly focus on minimizing total disagreement, a global objective for this problem. In this paper, we study a cluster-wise objective function that asks to minimize the maximum number of disagreements of each cluster, which we call min-max correlation clustering. The min-max objective is a natural objective that respects the quality of every cluster. In this paper, we provide the first nontrivial approximation algorithm for this problem achieving an $\mathcal{O}(\sqrt{\log n\cdot\max\{\log(|E^-|),\log(k)\}})$ approximation for general weighted graphs, where $|E^-|$ denotes the number of negative edges and $k$ is the number of clusters in the optimum solution. To do so, we also obtain a corresponding result for multicut where we wish to find a multicut solution while trying to minimize the total weight of cut edges on every component. The results are then further improved to obtain (i) $\mathcal{O}(r^2)$-approximation for min-max correlation clustering and min-max multicut for graphs that exclude $K_{r,r}$ minors (ii) a 14-approximation for the min-max correlation clustering on complete graphs.

研究动机与目标

• 通过最小化每簇中的最大不一致数而非总不一致数，解决传统相关聚类中缺乏公平性的问题。
• 引入一种新的聚类级最小-最大目标函数，确保无任何聚类显著劣于其他聚类，从而提升公平性与质量的平衡。
• 为一般加权图中的最小-最大相关聚类问题提供首个近似算法。
• 将该方法扩展至特殊图类，包括 K_{r,r}-minor-free 图和完全图，实现更优的近似比。
• 设计一种新颖的基于 MultiCut 的框架，以处理最小-最大目标函数，结合线性规划松弛与迭代聚合技术。

提出的方法

• 使用 MultiCut 公式建模最小-最大相关聚类问题，目标是最小化每个连通分量的最大小割权重。
• 对 MultiCut 问题的线性规划松弛实施随机舍入过程，生成具有有界小割权重且无违反的子集多重集。
• 设计一种聚合算法，通过迭代组合子集，确保任一部分的权重不超过目标值，同时保持无违反。
• 利用正交分离器和基于线性规划的分离器，构建初始解，控制小割权重且无违反。
• 利用图的结构特征——尤其在 K_{r,r}-minor-free 图和完全图中——通过组合论证与概率分析推导出更优的近似界。
• 引入覆盖与聚合阶段，确保每个顶点被足够比例的子集覆盖，从而实现组件的均衡合并。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为最小-最大相关聚类设计一个非平凡的近似算法，其目标是最小化每簇中的最大不一致数？
• RQ2 与经典全局最小和目标相比，最小-最大目标在可近似性方面有何差异？
• RQ3 在 K_{r,r}-minor-free 图和完全图等特殊图类中，最小-最大相关聚类的近似保证能达到何种程度？
• RQ4 MultiCut 框架能否被适配以支持聚类级最小-最大目标？其中的关键算法挑战是什么？
• RQ5 能否通过基于线性规划的舍入与迭代聚合方法，实现最小-最大相关聚类的常数或多项式对数近似？

主要发现

• 本文在一般加权图上实现了 O(√(log n · max{log|E⁻|, log k})) 的最小-最大相关聚类近似比。
• 对于 K_{r,r}-minor-free 图，近似比提升至 O(r²)，在稀疏图族中实现了显著改进。
• 在完全图上，算法实现了 14-近似，优于以往的 O(1) 和 O(√n) 界。
• 该方法可扩展至最小-最大多割问题，在多割变体中实现相同的近似比，目标函数一致。
• 聚合过程确保每个聚类具有有界的小割权重且无违反，其期望总成本在最优解的 O(√(min(T,n)·Δ) · B) 范围内。
• 该算法保证每个顶点被常数比例的子集覆盖，从而在保持最小-最大约束的前提下实现有效合并。