[论文解读] Min-Max Graph Partitioning and Small Set Expansion

Nikhil Bansal, Uriel Feige+6 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 27被引用 22

一句话总结

本文提出了一种针对最小-最大图划分问题的 $O(\sqrt{\log n \log k})$-近似算法，其中顶点被划分为 $k$ 个大致相等的部分，以最小化任意部分的最大割边数。该方法利用了小集合扩张（SSE）问题的一个新颖双准则近似，对一般图实现了 $O(\sqrt{\log n \log(1/\rho)})$ 的近似比，对排除固定子图的图实现了 $O(1)$ 的近似比，显著优于先前的界限。

ABSTRACT

We study graph partitioning problems from a min-max perspective, in which an input graph on n vertices should be partitioned into k parts, and the objective is to minimize the maximum number of edges leaving a single part. The two main versions we consider are where the k parts need to be of equal-size, and where they must separate a set of k given terminals. We consider a common generalization of these two problems, and design for it an $O(\sqrt{\log n\log k})$-approximation algorithm. This improves over an $O(\log^2 n)$ approximation for the second version, and roughly $O(k\log n)$ approximation for the first version that follows from other previous work. We also give an improved O(1)-approximation algorithm for graphs that exclude any fixed minor. Our algorithm uses a new procedure for solving the Small-Set Expansion problem. In this problem, we are given a graph G and the goal is to find a non-empty set $S\subseteq V$ of size $|S| \leq ρn$ with minimum edge-expansion. We give an $O(\sqrt{\log{n}\log{(1/ρ)}})$ bicriteria approximation algorithm for the general case of Small-Set Expansion, and O(1) approximation algorithm for graphs that exclude any fixed minor.

研究动机与目标

• 解决最小-最大图划分问题，目标是最小化 $k$ 个部分中任意部分的最大割边数。
• 将问题推广以同时包含等大小划分和终端分离，并提供统一的近似框架。
• 改进相关变体的最先进近似比 $O(k \log n)$ 和 $O(\log^2 n)$。
• 为小集合扩张（SSE）问题设计一种双准则近似，改进对 $\rho$（小集合大小比例）的依赖关系。
• 针对排除任意固定子图的图，实现常数因子近似，利用此类图的结构特性。

提出的方法

• 设计小集合扩张（SSE）问题的双准则近似算法，对一般图实现 $O(\sqrt{\log n \log(1/\rho)})$ 的近似比。
• 采用递归划分策略，在多个层级上应用最小和 $k$-划分算法，逐步减少部分数量。
• 在每一层，通过小和 $k$-划分的双准则近似递归地细分各部分，保持平衡并控制代价。
• 引入虚拟顶点以在递归过程中维持子实例的平衡，确保最终划分满足大小约束。
• 证明所有递归层级中割边总代价被限制在 $\alpha \cdot t \cdot \mathsf{OPT}$ 以内，其中 $t = \Theta(\log \log k)$，$\alpha$ 为最小和近似因子。
• 利用原问题最优解在子实例中诱导出可行解的事实，实现在各层级间的代价分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在最小-最大 $k$-划分问题上获得优于先前 $O(k \sqrt{\log n})$ 边界的新近似比？
• RQ2 能否开发一个统一框架，同时处理最小-最大图划分中的等大小划分和终端分离？
• RQ3 小集合扩张问题能否更有效地近似，特别是当 $\rho = 1/k$ 时，对 $\rho$ 的依赖关系能否改进？
• RQ4 对于排除固定子图的图，近似质量是否显著提升？若如此，能否实现常数因子近似？
• RQ5 递归应用最小和近似算法是否能通过层级间代价分解，带来更好的最小-最大保证？

主要发现

• 本文实现了对最小-最大 $k$-划分问题的 $O(\sqrt{\log n \log k})$-近似，显著优于先前的 $O(k \sqrt{\log n})$ 边界。
• 为小集合扩张问题设计了双准则近似，近似因子为 $O(\sqrt{\log n \log(1/\rho)})$，即使在 $\rho = 1/k$ 时也表现良好。
• 对于排除任意固定子图的图，该算法在小集合扩张和最小-最大划分问题上均实现了常数因子近似。
• 递归框架确保所有层级的割边总代价被限制在 $\alpha \cdot \log \log k \cdot \mathsf{OPT}$ 以内，其中 $\alpha$ 为最小和近似因子。
• 该方法将对 $k$ 的依赖从线性降低到对数级别，解决了先前方法中的关键瓶颈。
• 该算法在最终划分中保持了 $O(1)$-平衡，确保每个部分的大小在 $n/k$ 的常数因子范围内。