[论文解读] Min-max theory for free boundary minimal hypersurfaces II -- General Morse index bounds and applications

Qiang Guang, Martin Man‐chun Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 29被引用 8

一句话总结

本文在紧致黎曼流形（带边界）中，通过Almgren-Pitts极小化理论构造的自由边界极小超曲面，建立了三维至七维的一般性Morse指标上界。利用这些指标估计，作者证明：对于任意$C^\infty$黎曼度量，所有紧致、恰当嵌入的自由边界极小超曲面的并集在流形中稠密；在额外的平均凸性假设下，存在无穷多个此类超曲面——从而在自由边界情形下，为丘成桐猜想提供了通用解。

ABSTRACT

For any smooth Riemannian metric on an $(n+1)$-dimensional compact manifold with boundary $(M,\partial M)$ where $3\leq (n+1)\leq 7$, we establish general upper bounds for the Morse index of free boundary minimal hypersurfaces produced by min-max theory in the Almgren-Pitts setting. We apply our Morse index estimates to prove that for almost every (in the $C^\infty$ Baire sense) Riemannan metric, the union of all compact, properly embedded free boundary minimal hypersurfaces is dense in $M$. If $\partial M$ is further assumed to have a strictly mean convex point, we show the existence of infinitely many compact, properly embedded free boundary minimal hypersurfaces whose boundaries are non-empty. Our results prove a conjecture of Yau for generic metrics in the free boundary setting.

研究动机与目标

• 建立通过Almgren-Pitts极小化理论在紧致带边流形中构造的自由边界极小超曲面的Morse指标的一般性上界。
• 将Irie、Marques与Neves此前对闭合极小超曲面的通用稠密性结果，推广至自由边界情形。
• 在通用度量下，解决丘成桐猜想中关于自由边界情形下存在无穷多个极小超曲面的问题。
• 填补带边流形$p$-宽度理论中缺失的指标控制，从而完成Song证明丘成桐猜想的关键一环。

提出的方法

• 为极小化理论中的自由边界极小超曲面建立一般性Morse指标上界：若该超曲面来自$k$维同伦类，则其Morse指标至多为$k$。
• 应用体积谱的Weyl定律，控制$p$-宽度的增长，并将其与极小超曲面的存在性关联。
• 使用对数截断函数技巧，构造保持边界条件的向量场，以变形度量与超曲面。
• 利用Bumpy Metrics定理与White的结构定理，确保在小度量扰动下超曲面的非退化性与持久性。
• 构造一列收敛于bumpy度量$g'$的度量$g_i$，并通过微分同胚将几乎恰当嵌入的FBMH上移为恰当嵌入。
• 依赖[11]中的紧致性定理，以及存在一列度量使得几乎恰当嵌入的FBMH与任意开集相交的事实，证明在通用情形下的稠密性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在带边流形中，为通过Almgren-Pitts极小化理论构造的自由边界极小超曲面建立一般性Morse指标上界？
• RQ2 在紧致带边流形上，对于通用$C^\infty$黎曼度量，所有紧致、恰当嵌入的自由边界极小超曲面的并集是否在流形中稠密？
• RQ3 当边界具有严格平均凸点时，是否存在无穷多个此类超曲面？
• RQ4 能否填补带边流形$p$-宽度理论中缺失的指标控制，以简化Song对丘成桐猜想的证明？
• RQ5 在$C^\infty$拓扑下，是否存在一个度量集合，使得其包含的自由边界极小超曲面与任一给定开集相交，且该集合既开又稠密？

主要发现

• 通过$k$维同伦类极小化构造的自由边界极小超曲面的Morse指标至多为$k$，推广了闭合情形的结果。
• 对于紧致带边流形上通用的$C^\infty$黎曼度量，所有紧致、恰当嵌入的自由边界极小超曲面的并集在流形中稠密。
• 若边界具有严格平均凸点，则存在无穷多个紧致、恰当嵌入的自由边界极小超曲面（其边界非空）。
• $p$-宽度$\rho_p(M,g)$在通用度量下由整值变体实现，补全了Song证明丘成桐猜想中缺失的一环。
• 在$C^\infty$拓扑下，使得自由边界极小超曲面与任一给定开集相交的度量集合，既开又稠密。
• 构造一列收敛于bumpy度量$g'$的度量$g_i$，以及相应的超曲面$\Sigma_i$，可保证当$i$充分大时，$g_i$位于任意给定邻域内，且$\Sigma_i$与任意给定开集相交。