[论文解读] Minimal ends in H2xR with finite total curvature and a Schoen type theorem

Laurent Hauswirth, Barbara Nelli+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文建立了 $ℝ^2\times\mathbb{R}$ 中极小曲面的 Schoen 型分类定理：若一个完备连通的极小曲面具有有限总曲率且有两个端点，且每个端点渐近于竖直测地线平面，则该曲面必为水平双曲面。作者通过调和映射理论与广义 Hopf 微分分析有限总曲率端点，证明其为恰当浸入，且其高斯曲率在局部上由到边界的距离有界。

ABSTRACT

In this paper we prove that a complete minimal surface immersed in H^2xR, with finite total curvature and two ends, each one asymptotic to a vertical geodesic plane, must be a horizontal catenoid. Moreover, we give a geometric description of minimal ends of finite total curvature in H^2xR. We also prove that a minimal complete end E with finite total curvature is properly immersed and that the Gaussian curvature of E is locally bounded in terms of the geodesic distance to its boundary.

研究动机与目标

• 对 $ℝ^2\times\mathbb{R}$ 中具有有限总曲率和两个端点的完备极小曲面进行分类。
• 刻画 $ℝ^2\times\mathbb{R}$ 中有限总曲率极小端的几何结构。
• 证明此类端点为恰当浸入，且其高斯曲率在局部上由到边界的距离有界。
• 将 Schoen 在 $ℝ^3$ 中的经典结果推广至乘积空间 $ℝ^2\times\mathbb{R}$，并识别出水平双曲面为唯一具有竖直测地线平面端点的双端曲面。

提出的方法

• 利用极小浸入到 $ℝ^2\times\mathbb{R}$ 中的广义 Hopf 微分，其来源于投影到 $ℝ^2$ 的调和映射结构。
• 应用复分析与调和映射理论，特别是 Han、Tan、Treibergs 和 Minsky 的结果，分析端点的渐近行为。
• 运用 $ℝ^2$ 中曲线的边界最大值原理，研究端点水平截面收敛于测地线的性质。
• 通过最大值原理使用等距线与曲率比较，证明与有界曲率曲线的横截性及唯一性。
• 分析有限总曲率端点的水平截面收敛于极限水平测地线，从而建立几何控制。
• 依赖 Collin 与 Rosenberg 的 Jenkins-Serrin 型存在性结果，研究 $ℝ^2$ 中理想多边形区域上的极小图，以构造有限总曲率端点的例子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ℝ^2\times\mathbb{R}$ 中，具有有限总曲率和两个端点的完备极小曲面的完整分类是什么？
• RQ2 一个具有两个渐近于竖直测地线平面的端点的极小曲面是否可能非对称或非双曲面？
• RQ3 在 $ℝ^2\times\mathbb{R}$ 中，有限总曲率端点的几何性质与在 $ℝ^3$ 中相比有何异同？
• RQ4 是否每个 $ℝ^2\times\mathbb{R}$ 中的有限总曲率端点都是恰当浸入的？其曲率能否以到边界的测地距离为指标有界？
• RQ5 Hopf 微分在刻画此类端点渐近几何中起到何种作用？

主要发现

• 在 $ℝ^2\times\mathbb{R}$ 中，具有有限总曲率且有两个端点、每个端点渐近于竖直测地线平面的完备连通极小曲面，必为水平双曲面。
• 在 $ℝ^2\times\mathbb{R}$ 中，每个具有有限总曲率的完备极小端点均为恰当浸入。
• 在有限总曲率端点 $E$ 上，高斯曲率在局部上由到 $E$ 边界的测地距离有界。
• 有限总曲率端点的水平截面收敛于一个极限水平测地线，该极限刻画了端点的渐近几何。
• 有限总曲率端点的几何完全由理想边界 $∂_{\infty}\u211d^2$ 中的闭多边形曲线决定，通过水平截面的渐近行为表征。
• 在 $ℝ^2\times\mathbb{R}$ 中存在无穷多个不同的极小嵌入端点，其具有有限总曲率，典型例子为在具有交替 $+\infty$ 与 $-\infty$ 边界值的理想多边形上构造的极小图。