[论文解读] Minimal Entropy of States Emerging from Noisy Quantum Channels

Christopher King, Mary Beth Ruskai|ArXiv.org|Nov 17, 1999

Quantum Information and Cryptography参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文研究了通过噪声量子比特信道传输的量子态的最小熵，为无bits通道张量积下最小熵的可加性提供了强有力证据。证明了产品态可实现最小熵，并表明最小熵的可加性意味着Holevo容量的可加性，这意味着超可加性仅可能出现在非无bits通道中。

ABSTRACT

In this paper, we consider the minimal entropy of qubit states transmitted through two uses of a noisy quantum channel, which is modeled by the action of a completely positive trace-preserving (or stochastic) map. We provide strong support for the conjecture that this minimal entropy is additive, namely that the minimum entropy can be achieved when product states are transmitted. Explicitly, we prove that for a tensor product of two unital stochastic maps on qubit states, using an entanglement that involves only states which emerge with minimal entropy cannot decrease the entropy below the minimum achievable using product states. We give a separate argument, based on the geometry of the image of the set of density matrices under stochastic maps, which suggests that the minimal entropy conjecture holds for non-unital as well as for unital maps. We also show that the maximal norm of the output states is multiplicative for most product maps on $n$-qubit states, including all those for which at least one map is unital. For the class of {\it unital} channels on ${\bf C}^2$, we show that additivity of minimal entropy implies that the Holevo capacity of the channel is {\it additive} over two inputs, achievable with orthogonal states, and equal to the Shannon capacity. This implies that superadditivity of the capacity is possible only for non-unital channels.

研究动机与目标

• 研究通过两次使用噪声量子信道产生的状态的最小熵可加性。
• 确定纠缠输入态是否能将输出熵降低至产品态所能达到的水平以下。
• 探讨最小熵可加性对量子信道Holevo容量的影响。
• 研究无bits与非无bits信道在熵和容量可加性中的作用。
• 确定量子通道最大输出范数对乘积映射可乘性的条件。

提出的方法

• 分析完全正迹保信映射在量子比特密度矩阵上的作用，以模拟噪声量子信道。
• 通过随机映射下密度矩阵像的几何分析，支持最小熵猜想。
• 证明对于无bits映射的张量积，最小熵由产品态实现，而非纠缠输入。
• 应用输出范数可乘性的概念，表明大多数乘积映射的最大输出范数是可乘的。
• 通过正交态输入，建立最小熵可加性与Holevo容量可加性之间的联系。
• 采用量子信息理论中的技术，包括熵度量和量子态的凸几何。

实验结果

研究问题

• RQ1 在两次使用噪声量子信道时，纠缠输入态是否能将输出熵降低至产品态的水平以下？
• RQ2 噪声量子信道输出状态的最小熵在信道张量积下是否可加？
• RQ3 最小熵的可加性是否意味着信道Holevo容量的可加性？
• RQ4 无bits与非无bits信道在熵和容量可加性中起什么作用？
• RQ5 在何种条件下，量子信道的最大输出范数对乘积映射是可乘的？

主要发现

• 对于量子比特上无bits随机映射的张量积，最小输出熵由产品态实现，而非纠缠输入。
• 通过随机映射下密度矩阵像的几何分析，支持了最小熵猜想，该分析适用于无bits和非无bits信道。
• 对于n量子比特态上的大多数乘积映射，包括至少一个映射为无bits的情况，最大输出范数是可乘的。
• 无bits量子比特信道的最小熵可加性意味着Holevo容量在两个输入下是可加的，且可通过正交态实现。
• Holevo容量的超可加性仅可能出现在非无bits信道中，因为最小熵的可加性排除了无bits情况下的此类行为。
• 结果建立了最小熵可加性与信道香农容量之间的直接联系，突显了无bits性在容量行为中的重要性。