[论文解读] Minimal geodesic foliation on T^2 in case of vanishing topological entropy

Eva Glasmachers, Gerhard Knieper|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用 3

一句话总结

该论文证明，在具有零拓扑熵的黎曼2环面上，对于每个旋转数 r ∈ ℝ ∪ {∞}，其万有覆盖 ℝ² 均被全局最小化测地线所叶状化。当 r 为无理数时，叶状结构唯一，且所有具有该旋转数的测地线均为最小化且在格点平移下不自交；当 r 为有理数时，仅当度量为平坦时才具有唯一性。该结果通过曲线缩短技术将 Aubry-Mather 理论推广至测地流。

ABSTRACT

On a Riemannian 2-torus $(T^2,g)$ we study the geodesic flow in the case of low complexity described by zero topological entropy. We show that this assumption implies a nearly integrable behavior. In our previous paper \cite{GK} we already obtained that the asymptotic direction and therefore also the rotation number exists for all geodesics. In this paper we show that for all $r \in \mathbb{R} \cup \{\infty\}$ the universal cover $\Br^2$ is foliated by minimal geodesics of rotation number $r$. For irrational $r \in \mathbb{R}$ all geodesics are minimal, for rational $r \in \mathbb{R} \cup \{\infty\}$ all geodesics stay in strips between neighboring minimal axes. In such a strip the minimal geodesics are asymptotic to the neighboring minimal axes and generate two foliations.

研究动机与目标

• 刻画在拓扑熵为零时，2-环面上测地流的结构。
• 确定轨道复杂性的缺失是否意味着在最小化测地线叶状结构意义下具有近乎可积的结构。
• 在零熵条件下，为每个旋转数 r ∈ ℝ ∪ {∞} 建立最小化测地线叶状结构的存在性与唯一性。
• 阐明此类叶状结构唯一性与度量平坦性之间的关系。
• 通过几何流技术，将单调扭转映射（Aubry-Mather 理论）的结果推广至 T² 上的测地流。

提出的方法

• 作者使用曲线缩短流来全局控制测地线段并分析其交点模式。
• 他们定义了测地线的渐近方向与旋转数，通过已有结果证明其存在性，并将其推广至叶状结构。
• 通过分析具有旋转数 r 的测地线集合 S_x^r 的边界，证明边界测地线为最小化测地线，并渐近于相邻的最小化轴。
• 他们应用定理 3.4 与推论 3.3，证明条带内部的点不包含最小化射线，从而确保叶状结构的存在。
• 他们利用拓扑共轭不变性与最小化测地线的性质，证明当 r 为无理数时，叶状结构唯一，且测地线不与自身的非平凡平移相交。
• 证明过程区分了无理与有理旋转数的情形，表明有理叶状结构唯一当且仅当度量为平坦。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 T² 上，若对每个旋转数 r ∈ ℝ ∪ {∞} 均存在最小化测地线叶状结构，是否意味着测地流的拓扑熵为零？
• RQ2 对于 T² 上具有零拓扑熵的黎曼度量，是否存在仅有有限个有理旋转数使得最小化测地线叶状结构不唯一？
• RQ3 此类环面上的测地流是否在 Liouville-Arnold 意义下可积？
• RQ4 若对所有有理 r，最小化测地线叶状结构均唯一，是否意味着度量必为平坦？
• RQ5 是否存在除 Liouville 度量外的 T² 上度量，使得其测地流可积？

主要发现

• 对每个 r ∈ ℝ ∪ {∞}，2-环面的万有覆盖 ℝ² 均被旋转数为 r 的全局最小化测地线所叶状化。
• 当 r 为无理数时，叶状结构唯一，且所有具有该旋转数的测地线均为最小化，并在 ℤ² 平移下不与自身非平凡平移相交。
• 对于有理 r，叶状结构唯一当且仅当度量为平坦，这意味着非平坦度量对同一有理旋转数会允许多个不同的叶状结构。
• 在具有有理旋转数 r 的相邻最小化轴之间的条带中，最小化测地线渐近于边界轴，并生成两个不同的叶状结构。
• 对每个旋转数 r 均存在最小化测地线叶状结构，意味着测地流不具有混沌性，与零拓扑熵一致。
• 目前已知的 T² 上具有零拓扑熵的度量仅为形如 ds² = (f(x) + g(y))(dx² + dy²) 的 Liouville 度量；在这些度量中，非唯一叶状结构仅出现在 f 与 g 为非平凡常数时的方向 (1,0) 与 (0,1)。