[论文解读] Minimal volume entropy of simplicial complexes

Ivan Babenko, Stéphane Sabourau|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2020

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 40被引用 7

一句话总结

该论文确立了有限单纯复形最小体积熵为正或为零的拓扑条件，通过基本群的增长性质与环路空间拓扑实现。证明了若复形是本质的，其基本群在代数熵意义下为厚群（thick group），且其环路空间为 m-驯服（m-tamed），则最小体积熵有仅依赖于维数的正下界，从而解决了单纯体积为零但最小体积熵仍为正的关键情形。

ABSTRACT

This article deals with topological assumptions under which the minimal volume entropy of a closed manifold, and more generally of a finite simplicial complex, vanishes or is positive. In the first part of the article, we present complementing topological conditions expressed in terms of the growth of the fundamental group of the fibers of maps from a given finite simplicial complex to simplicial complexes of lower dimension which ensure that the minimal volume entropy of the simplicial complex either vanishes or is positive. We also give examples of finite simplicial complexes with zero simplicial volume and arbitrarily large minimal volume entropy. In the second part of the article, we present topological assumptions related to the exponential growth of certain subgroups in the fundamental group of a finite simplicial complex and to the topology of the loop space of its classifying space under which the minimal volume entropy is positive. Several examples are presented throughout the text.

研究动机与目标

• 确定有限单纯复形最小体积熵为正或为零的拓扑条件。
• 研究单纯体积为零是否意味着最小体积熵为零，特别是在高维情形下。
• 通过代数熵与环路空间拓扑推广先前关于最小体积熵的结果。
• 构造具有零单纯体积但最小体积熵可任意大之有限单纯复形的例子。
• 以基本群的厚性与环路空间的 m-驯服性为依据，建立最小体积熵的下界。

提出的方法

• 将最小体积熵定义为所有 X 上分段黎曼度量 g 的 ent(X,g) · vol(X,g)^{1/m} 的下确界。
• 使用 ϕ-本质性（ϕ-essentiality）概念，通过同态 φ: π₁(X) → G 将 X 的基本群与目标群 G 关联起来。
• 引入 δ-厚群（δ-thick groups）的概念，即每个指数增长的有限生成子群的代数熵 ≥ δ。
• 利用 Cayley 图上的字度量与球体积，对覆叠空间中的体积增长进行估计。
• 通过 K(G,1) 的环路空间的 m-驯服性条件，控制短环路的增长。
• 通过链熵不等式 ent(H₀) ≤ ent(H) ≤ ent(X,g) · ℓ_φ(X) 推导 ent(X,g) 的下界，其中 H₀ = φ(H) 具有指数增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种拓扑条件下，有限单纯复形的最小体积熵为零或保持为正？
• RQ2 有限单纯复形是否可能具有零单纯体积但正的最小体积熵？
• RQ3 是否存在以基本群子群代数熵为依据的最小体积熵统一下界？
• RQ4 K(G,1) 的环路空间的 m-驯服性如何与 X 的最小体积熵相关？
• RQ5 能否构造出具有零单纯体积但最小体积熵可任意大之有限单纯复形的例子？

主要发现

• 若复形是 ϕ-本质的，目标群 G 是 δ-厚群，且 K(G,1) 的环路空间为 m-驯服，则有限单纯复形的最小体积熵为正。
• 建立了最小体积熵的下界 ω(X) ≥ λₘδ，其中 λₘ 是仅依赖于维数 m 的正常数。
• 本文构造了具有零单纯体积但最小体积熵可任意大之有限单纯复形的例子，表明单纯体积一般无法控制最小体积熵。
• 对于基本群为 δ-厚群（例如，截面曲率有负下界的流形等距子群）的复形，最小体积熵有正的下界。
• 当每个半径为 R 的球体积 ≤ aₘR^m 时，最小体积熵的下界为 δ/R，将局部几何与熵联系起来。
• 该结果推广了先前工作，表明即使单纯体积为零，最小体积熵的正性仍可通过代数熵与环路空间拓扑检测。