[论文解读] On the joint spectral radius for isometries of non-positively curved spaces and uniform growth

Emmanuel Breuillard, Koji Fujiwara|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 37被引用 20

一句话总结

本文提出了一套非正曲率空间中联合谱半径的几何框架，将 Berger-Wang 和 Bochi 的结果推广至 $\delta$-双曲空间与非紧型对称空间。建立了几何 Berger-Wang 恒等式与 Bochi 型不等式，证明了在非几乎幂零群作用于此类空间时存在一致的指数增长，且增长速率的下界仅依赖于维数与曲率界。

ABSTRACT

We recast the notion of joint spectral radius in the setting of groups acting by isometries on non-positively curved spaces and give geometric versions of results of Berger-Wang and Bochi valid for $δ$-hyperbolic spaces and for symmetric spaces of non-compact type. This method produces nice hyperbolic elements in many classical geometric settings. Applications to uniform growth are given, in particular a new proof and a generalization of a theorem of Besson-Courtois-Gallot.

研究动机与目标

• 将 Berger-Wang 恒等式与 Bochi 不等式推广至 $\delta$-双曲空间与非紧型对称空间上的等距群作用。
• 通过渐近联合位移 $\ell(S)$ 与最小位移 $L(S)$，建立联合谱半径的几何表征。
• 在适度的曲率与维数约束下，证明有限生成群在非正曲率空间上等距作用时存在一致指数增长。
• 为 Besson-Courtois-Gallot 定理在局部对称空间中熵与体积增长的关系提供一种新证明与推广。
• 利用基于位移的判别准则，研究几何群作用中双曲元素与自由子半群的存在性。

提出的方法

• 定义有限等距集合 $S$ 在度量空间 $X$ 上的联合最小位移 $L(S) = \inf_{x \in X} \max_{s \in S} d(x, sx)$。
• 引入渐近联合位移 $\ell(S) = \lim_{n \to \infty} L(S^n)/n$，其推广了经典联合谱半径。
• 利用曲率与有界打包性质，建立几何 Berger-Wang 恒等式 $\ell(S) = \lambda_\infty(S)$，其中 $\lambda_\infty(S) = \sup_n \frac{1}{n} \lambda(S^n)$。
• 利用 Bishop-Gromov 不等式与 Ricci 曲率有下界的流形中的有界打包性质，控制体积增长并导出一致界。
• 应用几何 Berger-Wang 恒等式，证明在 $d$-维 CAT(0) 空间上曲率 $K \leq -a^2$ 的非几乎幂零群，其一致指数增长速率下界为 $\frac{1}{N} \log 2$，其中 $N$ 仅依赖于 $d$ 与 $a$。
• 利用 $S^N$ 中自由半群的存在性，结合等距的位移与双曲性，推导出一致指数增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\delta$-双曲空间与非紧型对称空间的等距变换中，是否存在几何形式的 Bochi 型不等式？
• RQ2 能否在仅依赖于维数与曲率的条件下，为非正曲率空间上的离散等距群作用建立一致指数增长？
• RQ3 是否存在一种几何证明方法，可避免使用线性代数，特别是针对对称空间的 Berger-Wang 恒等式与 Bochi 不等式？
• RQ4 CAT(0) 超立方复形或中位空间的等距变换是否满足几何 Bochi 不等式？
• RQ5 在对称空间或欧氏建筑物中，位移界 $\lambda_k(S) \geq L(S) - C$ 中的乘法常数 $C$ 是否可被消除？

主要发现

• 几何 Berger-Wang 恒等式成立：对于 $\delta$-双曲空间与非紧型对称空间上的等距作用，有 $\ell(S) = \lambda_\infty(S)$。
• 对于 $d$-维完备黎曼流形，若 Ricci 曲率 $\geq -(d-1)a^2$，则其具有有界打包性，打包常数为 $K(d,a)$，从而确保体积增长的一致控制。
• 任意有限生成的离散子群 $\Gamma = \langle S \rangle$，若其作用于 $d$-维 CAT(0) 空间且曲率 $K \leq -a^2$，则其要么几乎幂零，要么具有统一指数增长，其增长速率 $h(S) \geq \frac{1}{N} \log 2$，其中 $N = N(K(d,a)^3)$。
• 若 $S^N$ 中存在两个自由生成元，则可推出一致指数增长，且 $N$ 仅依赖于 $d$ 与 $a$，而与特定生成集无关。
• 一致指数增长的证明独立于生成集 $S$ 的选择，仅依赖于曲率与维数，且为 Besson-Courtois-Gallot 定理提供了新证明。
• 该方法为联合谱半径理论提供了线性代数技术的几何替代方案，尤其适用于对称空间与 $\delta$-双曲空间。