[论文解读] Minimization for generalized Boolean formulas

Edith Hemaspaandra, Henning Schnoor|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2011

semigroups and automata theory参考文献 30被引用 13

一句话总结

该论文在Post框架下为广义布尔公式的最小化问题建立了二分法，表明该问题要么可在多项式时间内求解，要么为coNP难。此外，论文为CNF类公式开发了高效的最小化算法，并提供了强有力的证据，表明所有可 tractable 的情况均已识别。

ABSTRACT

The minimization problem for propositional formulas is an important optimization problem in the second level of the polynomial hierarchy. In general, the problem is Σ2p-complete under Turing reductions, but restricted versions are tractable. We study the complexity of minimization for formulas in two established frameworks for restricted propositional logic: The Post framework allowing arbitrarily nested formulas over a set of Boolean connectors, and the constraint setting, allowing generalizations of CNF formulas. In the Post case, we obtain a dichotomy result: Minimization is solvable in polynomial time or coNP-hard. This result also applies to Boolean circuits. For CNF formulas, we obtain new minimization algorithms for a large class of formulas, and give strong evidence that we have covered all polynomial-time cases.

研究动机与目标

• 在允许任意布尔连接词的Post框架下，确定广义布尔公式最小化的计算复杂度。
• 在CNF公式约束推广的背景下，识别公式最小化的可 tractable 情况。
• 在Post框架中建立最小化复杂度的完整分类，区分多项式时间可解与coNP难的情况。
• 为一类广泛的CNF类公式开发新的最小化算法，并评估其在捕捉所有多项式时间可解实例方面的完备性。

提出的方法

• 在多项式层次的图灵归约下分析最小化问题，重点关注第二层（Σ₂^p）。
• 应用二分法理论，基于允许的布尔连接词集合，对Post框架中的最小化问题进行分类。
• 利用布尔函数的结构特性和克隆理论，刻画可 tractable 与不可 tractable 情况的差异。
• 设计针对约束环境下公式最小化的新型算法技术，特别是CNF的推广形式。
• 利用归约与完备性论证，表明所识别的算法类别在多项式时间可解性方面是完备的。
• 将结果扩展至布尔电路，表明同一二分法在该背景下同样适用。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些布尔连接词集合，广义公式的最小化问题可在多项式时间内求解？
• RQ2 在Post框架中，公式最小化的可 tractable 与不可 tractable 情况之间的精确边界是什么？
• RQ3 我们能否为一类广泛的CNF类公式开发高效的最小化算法，且这些算法是否完备地捕捉了所有多项式时间可解实例？
• RQ4 当从标准CNF转向更一般的基于约束的公式表示时，最小化的复杂度如何变化？
• RQ5 公式二分法结果在多大程度上可推广至布尔电路？

主要发现

• 在Post框架中，公式最小化问题的完整二分法得以建立：问题的可解性取决于允许的布尔连接词集合，要么可在多项式时间内求解，要么为coNP难。
• 同一二分法也适用于布尔电路，表明复杂度分类在不同表示形式下具有鲁棒性。
• 对于CNF类公式，开发了新的高效最小化算法，覆盖了一类广泛且重要的公式。
• 提供了强有力的证据，表明所提出的算法已完整捕获了所有多项式时间可解的CNF公式最小化情况。
• 研究结果表明，在Post框架中，可 tractable 与不可 tractable 最小化之间的边界是明确界定的。
• 研究证实，一般情况下最小化问题仍为Σ₂^p完全，但在特定句法与语义约束下可变为可 tractable。