[论文解读] Minimizing and Computing the Inverse Geodesic Length on Trees

Serge Gaspers, Joshua Lau|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 31被引用 1

一句话总结

本文提出了一种在树上最小化逆测地长度（IGL）的亚指数时间、多项式空间算法，利用动态规划与多项式乘法。证明了IGL在树上是平衡的，从而实现了关于参数 n/k 的固定参数可追踪性，并通过重心分解与快速卷积，实现了 O(n log²n) 时间内计算树的距离分布。

ABSTRACT

For any fixed measure $H$ that maps graphs to real numbers, the MinH problem is defined as follows: given a graph $G$, an integer $k$, and a target $τ$, is there a set $S$ of $k$ vertices that can be deleted, so that $H(G - S)$ is at most $τ$? In this paper, we consider the MinH problem on trees. We call $H$ "balanced on trees" if, whenever $G$ is a tree, there is an optimal choice of $S$ such that the components of $G-S$ have sizes bounded by a polynomial in $n/k$. We show that MinH on trees is FPT for parameter $n/k$, and furthermore, can be solved in subexponential time, and polynomial space, if $H$ is additive, balanced on trees, and computable in polynomial time. A measure of interest is the Inverse Geodesic Length (IGL), which is used to gauge the connectedness of a graph. It is defined as the sum of inverse distances between every two vertices: $IGL(G)=\sum_{\{u,v\} \subseteq V} \frac{1}{d_G(u,v)}$. While MinIGL is W[1]-hard for parameter treewidth, and cannot be solved in $2^{o(k+n+m)}$ time, even on bipartite graphs with $n$ vertices and $m$ edges, the complexity status of the problem remains open on trees. We show that IGL is balanced on trees, to give a $2^{O((n\log n)^{5/6})}$ time, polynomial space algorithm. The distance distribution of $G$ is the sequence $\{a_i\}$ describing the number of vertex pairs distance $i$ apart in $G$: $a_i=|\{\{u, v\}: d_G(u, v)=i\}|$. We show that the distance distribution of a tree can be computed in $O(n\log^2 n)$ time by reduction to polynomial multiplication. We extend our result to graphs with small treewidth by showing that the first $p$ values of the distance distribution can be computed in $2^{O(tw(G))} n^{1+\varepsilon} \sqrt{p}$ time, and the entire distance distribution can be computed in $2^{O(tw(G))} n^{1+\varepsilon}$ time, when the diameter of $G$ is $O(n^{\varepsilon'})$ for every $\varepsilon'>0$.

研究动机与目标

• 解决树上 MinIGL 问题计算复杂性的开放问题。
• 开发一种高效算法，用于计算树和小树宽图上的逆测地长度（IGL）。
• 建立树上 MinH 问题关于参数 n/k 的固定参数可追踪性（FPT）的条件。
• 通过多项式乘法与分治策略，高效计算树和有界树宽图的距离分布。
• 将结果扩展至树宽较小的图，实现距离分布计算对 n 的亚二次依赖。

提出的方法

• 引入树上‘平衡’度量的概念，其中最优顶点删除可产生大小为 n/k 多项式级别的连通分量。
• 应用动态规划，通过将有序子树与输入树的结构匹配来最小化 IGL。
• 使用重心分解递归地分割树，并通过快速多项式乘法计算距离分布。
• 将距离分布计算归约为低维空间中的红蓝多项式问题，并递归求解。
• 在树分解上采用分治策略，求解 k 维空间中的多个红蓝多项式实例。
• 利用计算几何与多项式乘法的高级技术，在有界树宽图上实现亚二次时间复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 树上的 MinIGL 问题是否关于参数 n/k 固定参数可追踪？
• RQ2 能否在亚指数时间与多项式空间内计算树的逆测地长度？
• RQ3 计算树的距离分布的最快可能算法是什么？
• RQ4 对于大 n，能否比所有点对最短路径（APSP）更快地计算小树宽图的距离分布？
• RQ5 IGL 度量是否满足 FPT 算法所需的‘在树上平衡’条件？

主要发现

• 由于 IGL 在树上是平衡的，树上的 MinIGL 问题关于参数 n/k 是固定参数可追踪的。
• 提出了一种时间复杂度为 2^O((n log n)^{5/6})、空间复杂度为 O(n³) 的算法，用于求解树上的 MinIGL 问题。
• 通过重心分解与快速多项式乘法，可在 O(n log²n) 时间内计算树的距离分布。
• 对于树宽为 k 的图，其距离分布的前 p 个值可在 2^O(k)n^{1+ε}√p 时间内计算，其中任意 ε > 0。
• 对于具有单位边权的有界树宽图，其完整的距离分布可在 2^O(tw(G))n^{3/2+ε} 时间内计算。
• 该算法实现了对 n 的亚二次依赖，优于标准 APSP 算法在有界树宽图上的 O(kn²) 时间复杂度。