[论文解读] Minimizing normalized volumes of valuations

Chi Li|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 56被引用 14

一句话总结

本文在 ${\mathbb{Q}}$-Gorenstein klt 奇点处引入了一个实赋值上的归一化体积泛函，并通过 Izumi 型估计证明其具有统一的正下确界。关键结果是归一化体积的下确界被一个仅依赖于奇点的正常数所控制，从而为归一化体积最小化问题中极小化子的存在性建立了基础估计。

ABSTRACT

For any $\mathbb{Q}$-Gorenstein klt singularity $(X,o)$, we introduce a normalized volume function $\widehat{ m vol}$ that is defined on the space of real valuations centered at $o$ and consider the problem of minimizing $\widehat{ m vol}$. We prove that the normalized volume has a uniform positive lower bound by proving an Izumi type estimate for any $\mathbb{Q}$-Gorenstein klt singularity. Furthermore, by proving a properness estimate, we show that the set of real valuations with uniformly bounded normalized volumes is compact, and hence reduce the existence of minimizers for the normalized volume functional $\widehat{ m vol}$ to a conjectural lower semicontinuity property. We calculate candidate minimizers in several examples to show that this is an interesting and nontrivial problem. In particular, by using an inequality of de-Fernex-Ein-Mustaţă, we show that the divisorial valuation associated to the exceptional divisor of the standard blow up is a minimizer of $\widehat{ m vol}$ for a smooth point. Finally the relation to Fujita's work on divisorial stability is also pointed out.

研究动机与目标

• 在 ${\mathbb{Q}}$-Gorenstein klt 奇点 $(X,o)$ 处定义并研究实赋值上的归一化体积泛函 $\widehat{\rm vol}(v) = A(v)^n \cdot {\rm vol}(v)$。
• 证明在所有此类赋值上 $\widehat{\rm vol}(v)$ 具有统一的正下确界，从而证明其下确界为正。
• 将极小化子的存在性问题约化为 $\widehat{\rm vol}$ 在赋值空间上一个猜想的下半连续性性质。
• 将最小化问题与 Fujita 关于除子稳定性的工作联系起来，并提供可显式计算极小化子的实例。

提出的方法

• 引入归一化体积泛函 $\widehat{\rm vol}(v) = A(v)^n \cdot {\rm vol}(v)$，其中 $A(v)$ 为对数离散性，${\rm vol}(v)$ 为赋值的体积。
• 证明一个 Izumi 型估计：$v \leq c_1 \cdot A(v) \cdot {\rm ord}_o$，该估计蕴含 $\widehat{\rm vol}(v)$ 的统一下确界。
• 建立一个技术性恰当性估计：$\mathrm{vol}(v) \geq c_2 \left( \sup_{\mathfrak{m}} \frac{v}{{\rm ord}_o} \right)^{1-n} \frac{1}{v(\mathfrak{m})}$，将体积与对数离散性和阶联系起来。
• 利用上述估计证明：具有统一有界归一化体积的赋值集合是紧致的，从而可将极小化子存在性问题约化为下半连续性。
• 应用 de Fernex-Ein-Mustaćić 不等式，证明在光滑点处标准爆破的除子赋值是 $\widehat{\rm vol}$ 的极小化子。
• 将归一化体积最小化问题与 Fujita 的除子稳定性理论联系起来，凸显其结构上的相似性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ${\mathbb{Q}}$-Gorenstein klt 奇点处，实赋值上的归一化体积泛函 $\widehat{\rm vol}(v)$ 是否具有正的下确界？
• RQ2 能否将 $\widehat{\rm vol}(v)$ 的极小化子存在性约化为一个猜想的下半连续性性质？
• RQ3 与光滑点处标准爆破的例外除子相关的除子赋值是否为 $\widehat{\rm vol}(v)$ 的极小化子？
• RQ4 归一化体积最小化问题与 Fujita 的除子稳定性理论有何关联？
• RQ5 给定一个 klt 奇点，$\widehat{\rm vol}(v)$ 的下确界的确切值是多少？

主要发现

• 对于任意 ${\mathbb{Q}}$-Gorenstein klt 奇点 $(X,o)$，归一化体积泛函 $\widehat{\rm vol}(v)$ 具有统一的正下确界 $K > 0$，且该下确界与赋值 $v$ 无关。
• 对所有赋值 $v$，存在 Izumi 型估计 $v \leq c_1 \cdot A(v) \cdot {\rm ord}_o$，其中 $c_1 = c_1(X,o) > 0$，由此导出下确界 $\widehat{\rm vol}(v) \geq \mathfrak{e}(\mathfrak{m}) / c_1^n > 0$。
• 由于恰当性估计与 Izumi 估计，具有统一有界归一化体积的实赋值集合是紧致的。
• $\widehat{\rm vol}(v)$ 的下确界被下界 $K \cdot \frac{A(v)}{v(\mathfrak{m})}$ 控制，其中 $K = K(X,o) > 0$，从而确认了统一的正下确界。
• 在光滑点处，通过 de Fernex-Ein-Mustaăć 不等式可证，标准爆破的除子赋值是 $\widehat{\rm vol}(v)$ 的极小化子。
• 归一化体积最小化问题与 Fujita 的除子稳定性理论有深刻联系，暗示其具有更广泛的几何与代数意义。